Вроде сделал проверку на exit, что же все таки не так?
package com.javarush.task.task13.task1319;
import java.io.*;
/*
Писатель в файл с консоли
*/
public class Solution {
public static void main(String[] args) throws IOException {
// напишите тут ваш код
BufferedReader reader = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
BufferedWriter writer = new BufferedWriter(new FileWriter(reader.readLine()));
while (true){
String s = reader.readLine();
if(!s.equals("exit")){
writer.write(s);
writer.newLine();
}else writer.write(s);
break;
}
reader.close();
writer.close();
}
}