В методе draw(Game) должен вызываться метод setCellValue(int, int, String) класса Game для каждого объекта GameObject из списка snakeParts.
public class Snake {
    private List<GameObject> snakeParts = new ArrayList<GameObject>();
    private final static String HEAD_SIGN = "\u04EA";
    private final static String BODY_SIGN = "\u04E9";


    public Snake(int x, int y) {
        GameObject a = new GameObject(x,y);
        GameObject b = new GameObject(x + 1,y);
        GameObject c = new GameObject(x + 2,y);
        snakeParts.add(a);
        snakeParts.add(b);
        snakeParts.add(c);
    }

    public void draw(Game game) {
// ?
    }