Почему так нельзя?

Как уже написали, public Cat - это конструктор, и поэтому к нему надо обращаться через new.

Итого получаем: 1-й вариант

public class Solution {
    public static void main(String[] args) {
        //напишите тут ваш код
        Cat cat1 = new Cat();
        cat1.changeFields("Vaska", 3, 5, 6);
        Cat cat2 = new Cat();
        cat2.changeFields("Vaska", 3, 5, 6);
        Cat cat3 = new Cat();
        cat3.changeFields("Vaska", 3, 5, 6);
    }

    public static class Cat {
        private String name;
        private int age;
        private int weight;
        private int strength;

        public void changeFields(String name, int age, int weight, int strength) {
            this.name = name;
            this.age = age;
            this.weight = weight;
            this.strength = strength;
        }
    }
}

2-й вариант

public class Solution {
    public static void main(String[] args) {
        //напишите тут ваш код
        Cat cat1 = new Cat();
        cat1.changeFields("Vaska", 3, 5, 6);

        Cat cat2 = new Cat("Murzik", 2, 3, 4);

        Cat cat3 = new Cat("Barsik", 1, 2, 3);
        cat3.changeFields("Barsik", 2, 3, 4);
    }

    public static class Cat {
        private String name;
        private int age;
        private int weight;
        private int strength;

        public Cat() {
        }

        public Cat(String name, int age, int weight, int strength) {
            this.name = name;
            this.age = age;
            this.weight = weight;
            this.strength = strength;
        }

        public void changeFields(String name, int age, int weight, int strength) {
            this.name = name;
            this.age = age;
            this.weight = weight;
            this.strength = strength;
        }
    }
}

Ну и наконец, если вы уже выбрали один из вариантов и вам нужен метод для возможности изменения переменных(полей) класса, создаем его:

public void changeFields(String name, int age, int weight, int strength) {
            this.name = name;
            this.age = age;
            this.weight = weight;
            this.strength = strength;
        }
Заметьте, присутствует тип возвращаемого значения и название не совпадает с названием класса.

Если же вы хотите создать "пустой" объект, без параметров, а уже потом назначить значения переменным, то вам нужно: либо убрать все конструкторы

public static class Cat {
        private String name;
        private int age;
        private int weight;
        private int strength;
}
 //при создании объекта компилятор неявно вызовет конструктор по умолчанию, который эквивалентен примеру ниже
public Cat() {
 }

либо же добавить пустой конструктор

public static class Cat {
       private String name;
       private int age;
       private int weight;
       private int strength;

       public Cat() { //если вы напишите Cat cat1 = new Cat(), то вызовется этот конструктор

       }

       public Cat(String name, int age, int weight, int strength) { //если вы напишите Cat cat1 =
           this.name = name;                                     //new Cat("Vaska", 3, 5, 6), то вызовется этот конструктор
           this.age = age;
           this.weight = weight;
           this.strength = strength;
       }
   }

Так нельзя, потому что public Cat - это конструктор, а не метод. Метод имеет тип возвращаемого значения(void - ничего не возвращает, или возвращает примитивный либо ссылочный тип), конструктор же не имеет возвращаемого значения и его название совпадает с названием его класса. При данной реализации класса Cat, он имеет один конструктор с параметрами, конструктор вызывается каждый раз при создании нового объекта, исходя из этого, вы обязаны при создании нового объекта сразу в скобках указывать все параметры: Cat cat1 = new Cat("Vaska", 3, 5, 6);