Две переменные заменил, на одну.
В main даже сделал проверку - имя присвоено объекту.
package com.javarush.task.task04.task0406;
/*
Программа учета имен
*/
public class Cat {
private String fullName;
public void setName(String fullName) {
this.fullName = fullName;
}
public static void main(String[] args) {
Cat cat1 = new Cat();
cat1.setName("Hook");
System.out.println(cat1.fullName);
}
}