Где накосячил?

В методе removeTheFirstNameDuplicates ты удаляешь вообще все. Попробуй сделать так - в этом методе создай копию HashMap.

HashMap<String, String> copy = new HashMap<String, String>(map);

Далее, погугли про метод Collections.frequency, он показывает сколько раз в коллекции встречается элемент. Если значение больше одного, значит элемент повторяется, и мы его удаляем.

for (String s : copy.values()) {
           if ((Collections.frequency(copy.values(), s)) > 1)
               removeItemFromMapByValue(map, s);
       }

Валидатор ругается потому, что программа работает не так, как того требует задание. 1)Рекомендую в метод main Добавить код

HashMap<String, String> map = createMap();
removeTheFirstNameDuplicates(map);
for (Map.Entry<String, String> pair : map.entrySet()){
    System.out.println(pair.getKey() + " " + pair.getValue());
}

Затем запустить программу. Ты увидишь, что твой код удаляет не только повторы, а все элементы "карты". 2)Поменяй местами имя и фамилию в карте. В задании написано "по принципу «фамилия» - «имя» " 3)У тебя все имена и фамилии разные. Хотя бы на время отладки сделай две записи с одинаковыми именами.