Собственно - если скучно кому, рутина там заела или еще что - милости прошу. Хинт от валидатора : "Метод clientHandshake() должен отправлять новое сообщение (MessageType.USER_NAME, getUserName()) используя connection, если тип принятого сообщения равен MessageType.NAME_REQUEST." Собственно вот :
case NAME_REQUEST: {
    Message userNameResponse = new Message(MessageType.USER_NAME, getUserName());
    connection.send(userNameResponse);
    break;
}
P.S. : Логика, которая нас интересует - в классе Client