Должно же работать? Почему пробел не ищет?
package com.javarush.task.task08.task0823;
import java.io.BufferedReader;
import java.io.IOException;
import java.io.*;
import java.lang.*;
/*
Омовение Рамы
*/
public class Solution {
public static void main(String[] args) throws IOException {
BufferedReader reader = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
String string = reader.readLine();
//напишите тут ваш код
char[] s=string.toCharArray();
for(int i=0; i<s.length; ++i){
if(i==0) s[i]=Character.toUpperCase(s[i]) ;
if(i==' ') s[i+1]=Character.toUpperCase(s[i+1]);
}
string= new String(s) ;
System.out.println(string) ;
}
}