Понимаю, что основной массив не заполняется, но как сделать правильно ?

public class Solution {
    public static void main(String[] args) throws Exception {
        //напишите тут ваш код
        BufferedReader reader = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
        int[] massBig = new int[20];
        int[] massLittle1 = new int[10];
        int[] massLittle2 = new int[10];

        for (int i = 0; i < massBig.length; i++) {
            massBig[i] = Integer.parseInt(reader.readLine());
        }

        for (int j = 1; j < massBig.length; j++) {
            if (massBig[j] <= 10) {
                massLittle1[j] = massBig[j];
            } else if (massBig[j] > 10) {
                massLittle2[j - 10] = massBig[j];
            }
        }

        for (int k = 0; k < massLittle2.length; k++) {
            System.out.println(massLittle2[k]);
    }
}

Разбей задачу на маленькие процессы, не нужно все подряд делать

if (massBig[j] <= 10)

for (int i = 0; i < massBig.length; i++) {
    if (i != 10) {
        massLittle1[i] = massBig[i];
    } else {
        massLittle2[i - 10] = massBig[i];
    }
}

arrayForCopy = Arrays.copyOfRange(array, 0, 10);