Почему мы должны ввести строку для выполнения задачи? В лекции не нашел информации, к сожалению. 
array[index] = new int [index + 1];
Почему не работает программа при следующем варианте: 
index = index + 1;
public class ArrayTriangle {
    public static void main(String[] args) {

        /*
        Задача: Создай треугольный массив, где значение каждого элемента — это сумма его индексов.
         */


        int[][] array = new int[10][];
        for (int index = 0; index < array.length; index++) {
            /*
            Мы должны внести такую переменную, чтобы цикл у нас выполнялся.
             */
            array[index] = new int [index + 1];
            for (int h = 0; h < array[index].length; h++) {
                array[index][h] = index + h;
                System.out.print(array[index][h] + " ");
            }
            System.out.println();
        }
    }
}