Не пойму для чего нужен конструктор

В данном случае в конструкторе инициализируется переменная map новым HashMap'ом. Если ты имеешь ввиду почему это не сделать сразу при объявлении переменной - ХЗ, мне кажется тут это не принципиально.

solution.map.put(index, name);

не совсем понял формулировку. Тут ты обращаешься к полю map экземпляра Solution что создаётся в методе Main, если создать ещё один объект:

Solution solution1 = new Solution();

то обращаться к его map будешь так:

solution1.map.put(index, name);

map.put(Index, name)

в данном примере это не получится, ну если конечно поле map не сделать static, но тогда это поле будет принадлежать классу Solution, а не его экземпляру

map.put(Integer.parseInt(reader.readLine), reader.readLine());

Можно, а зачем? Можно вообще весь код в одну строчку писать, но как в этом потом разобраться. Нет ничего страшного в том, что создаются какие то вспомогательные переменные. Лишь бы код был читаемым и ты сам бы мог потом в этом разобраться.

solution.map.put(index, name);

HashMap<index, name> map = new Hashmap<>();

solution.map.put(index, name);

HashMap<index, name> map = new Hashmap<>();

public class Solution {
    HashMap<Integer, String> map;
    static Integer index;
    static String name;

    public Solution() {
        this.map = new HashMap<Integer, String>();
    }

solution.map.put(index, name);

HashMap<Integer, String> map;

HashMap<index, name> map = new Hashmap<>();

this.map = new HashMap<Integer, String>();