Почему в правильном решение не закрывается BuffererdReader?

А почему не надо закрывать BufferedReader, который с консоли читает посредством System.in?

Потому что это системный поток ввода. Его открывает JVM при запуске. И как правило, он должен работать до тех пор, пока JVM не завершит работу. Если твой метод закроет оборачивающий его BufferedReader, то будет закрыт и сам System.in. И если в дальнейшем другая часть программы захочет считать что-то с консоли - всё будет плохо. Для примера:

public static void main(String[] args) throws IOException {
    readAndPrintFirst();
    readAndPrintSecond();
}

public static void readAndPrintFirst() throws IOException {
    BufferedReader reader = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
    System.out.println(reader.readLine());
    reader.close();
}

public static void readAndPrintSecond() throws IOException {
    BufferedReader reader = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
    System.out.println(reader.readLine());
}

На JavaRush в некоторых заданиях явным образом просят закрыть поток чтения с консоли. Но это потому, что в тестах JR System.in подменяется другим потоком (никто же не будет сидеть на стороне сервера и вбивать вручную в консоль строки для теста каждый раз, когда кто-то сдает задачу). Но если этого в задаче не сказано, то закрывать его не надо.