План такой: считать данные из двух файлов в буфер, а затем записать из буфера в в первый файл поверх сущействующих данных. Но что-то пошло не так, в буфер записывается только содержимое второго файла. При чем если писать из двух файлов в буфер, а записывать в третий файл, то все ок.

public class Solution {
    public static void main(String[] args) {

        Scanner scanner = new Scanner(System.in);

        File first = new File(scanner.nextLine());
        File second = new File(scanner.nextLine());

        try (FileInputStream inputFirst = new FileInputStream(first);
        FileInputStream inputSecond = new FileInputStream(second);
        FileOutputStream out = new FileOutputStream(first, false)) {
            ByteArrayOutputStream outputStream = new ByteArrayOutputStream();

            while (inputSecond.available() > 0) {
                outputStream.write(inputSecond.read());
            }

            while (inputFirst.available() > 0) {
                outputStream.write(inputFirst.read());
            }

            outputStream.writeTo(out);


        } catch (FileNotFoundException e) {
            e.printStackTrace();
        } catch (IOException e) {
            e.printStackTrace();
        }


    }
}