когда используем static?

static - это не само по себе, это по отношению к классу, внутри которого написано "static". В данном случае по отношению к классу Solution. Ты же не хочешь создавать объекты классы Solution, чтобы создавать объекты класса Pet/Cat, они тебе не нужны. А классы Pet и Cat написаны внутри Solution. Напиши их в отдельном файле или просто вне Solution, и тогда они не будут статическими. Если просто убрать static, то, чтобы создать объект кота, например, надо будет создать сначала объект Solution solution = new Solution(); и уже у него вызывать конструктор внутреннего класса: Cat cat = solution.new Cat(); Но это было бы единственным назначением объекта solution, больше он не был бы нужен ни для чего. Поэтому проще сделать классы статическими вложенными. Это никак не связано с тем, как эти классы связаны между собой, что один является объектом другого. Чаще всего каждый класс создается в отдельном файле, и тогда такого вопроса не стоит. Здесь же мы решаем задачу внутри одного конкретного класса Solution, поэтому так.