Печать стек трейса

Разница заключается только в потоках вывода сообщения. Например, вызов метода printStackTrace() без аргументов равнозначен вызову printStackTrace(System.err), то есть по умолчанию сообщение о возникшем исключении будет выведено в специальный поток ошибок System.err (кстати, именно поэтому информация об исключениях выводится в консоль IDEA красным цветом). Но можно вывести сообщение и в стандартный поток, передав в метод аргумент System.out. Более того, можно создать свой собственный поток вывода и направлять туда все сообщения об ошибках:

import java.io.ByteArrayOutputStream;
import java.io.PrintStream;

public class Solution {
    public static void main(String[] args) throws Exception {
        ByteArrayOutputStream baos = new ByteArrayOutputStream();
        PrintStream printStream = new PrintStream(baos);

        try {
            int a = 1 / 0;
        } catch (Exception e) {
            e.printStackTrace(printStream);
        }

        System.out.println(baos);
    }
}