Проверил, все работает. Делаю так, записываю сначала первый файл во второй. Потом уже объединенный файл пишу в первый. Получается то, что просят в условии.
package com.javarush.task.task18.task1819;
import java.io.*;
/*
Объединение файлов
*/
public class Solution {
public static void main(String[] args) throws IOException {
BufferedReader reader = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
String fileName1 = reader.readLine();
String fileName2 = reader.readLine();
FileReader reader1 = new FileReader(fileName1);
FileWriter writer = new FileWriter(fileName2, true);
while (reader1.ready()){
writer.write(reader1.read());
}
reader.close();
reader1.ready();
writer.close();
FileReader reader2 = new FileReader(fileName2);
FileWriter writer1 = new FileWriter(fileName1);
while(reader2.ready()){
writer1.write(reader2.read());
}
reader2.close();
writer1.close();
}
}