Почему не принимает такое решение?

balance и Integer.MAX_VALUE не идентичны?

У тебя balance уже присвоено значение (8 строка, там max value) и bill тоже (11 строка). Тебе нужно сделать как пишется в требованиях "Уменьшить поле balance на переданный агрумент, а аргумент это String bill в методе processPayment". Т.к. bill это тип String, ты не можешь от инта отнять строку, тебе нужно ее запарсить. Удали на 19 строке повторное присвоение MAX_VALUE (оно бесмысленное, там и так максимальное значение) и отними запарсенный bill от balance. Не нужно в качестве аргумента для Integer.parseInt писать то значение, которое там и так есть, чеку ведь дали же значение уже на 11 строке. Просто напишу туда bill и все заработает.

А почему принимается решение balance = balance - Integer.parseInt (bill); ? я имею в виду balance пишем два раза. Можете пояснить словами что означает balance слева от знака = и balance справа от знака =.

Знак равно - это операция присваивания. Она означает, что переменной слева от знака равно присваивается значение справа от знака равно. Соответственно, сначала вычисляется значение в правой части, и затем присваивается переменной из левой части:

int x = 7; // переменной x присваивается значение 7
x = x + 4; // сначала вычисляем 7 + 4 = 11 и присваиваем полученное значение переменной x
// x равно 11

Существует так же короткая запись выражения, когда нужно изменить значение переменной и сохранить в ту же переменную:

x += 4; // то же самое, что x = x + 4;
x *= 2; // то же самое, что x = x * 2;
x /= 3; // то же самое, что x = x / 3;
x += x; // то же самое, что x = x + x; (ну или x = x * 2, разумеется)

Почему вывод тогда одинаковый с правильным решением?

Потому что проверка идет с числом в переменной bill, которое ты скопировал в свой метод. А тебе нужно не задавать самому числа, а использовать проинициализированные числа ранее. Чтобы в конечном итоге твой метод работал не зависимо от числа, а просто работал с числом переданным в аргумент метода.