Задачу решил сам, но в выводе печатался последний элемент last (null). Хотя его value == null, а сам он содержит только ссылку на предыдущий. После залез в правильное решение, оно разумеется лучше моего 😅, но прошел дебагером несколько раз, и так и не понял, почему в правильном решении метод printAll на проверке элемента last выдает false, а в моём случае true. И т.к. javarush принял задачку, прикрепить код к вопросу мне не дает, но без него не разобрать. Код StringsLinkedList:
package com.javarush.task.pro.task13.task1313;

public class StringsLinkedList {
    private Node first = new Node();
    private Node last = new Node();

    public void printAll() {
        Node currentElement = first.next;
        while ((currentElement) != null) {
            System.out.println(currentElement.value);
            currentElement = currentElement.next;
        }
    }

    public void add(String value) {
        if (first.next == null || last.prev == null){
            Node current = new Node(first,value,last);
            first.next = current;
            last.prev = current;
            return;
        }

        Node currentElement = new Node (last.prev,value,last);
        last.prev.next = currentElement;
        last.prev = currentElement;

    }

    public static class Node {
        private Node prev;
        private String value;
        private Node next;
        Node(){}
        Node(Node prev, String value, Node next){
            this.prev = prev;
            this.value = value;
            this.next = next;
        }
    }
}
В методе printAll если поменять проверку ((currentElement) != null) на ((currentElement.value) != null) всё становится отлично. Но почему так? P.S. добавлю еще код проверки, может кому удобнее будет разобраться.
package com.javarush.task.pro.task13.task1313;

/*
StringsLinkedList
*/

public class Solution {

    public static void main(String[] args) {
        StringsLinkedList stringsLinkedList = new StringsLinkedList();
        stringsLinkedList.add("1");
        stringsLinkedList.add("2");
        stringsLinkedList.add("3");
        stringsLinkedList.add("4");
        stringsLinkedList.add("5");
        stringsLinkedList.add("6");
        stringsLinkedList.add("7");
        stringsLinkedList.add("8");
        stringsLinkedList.add("9");
        stringsLinkedList.printAll();
    }
}