вроде всё должно работать, записываю содержимое первого файла во второй (tmp), потом из второго записываю всё в первый
package com.javarush.task.task18.task1819;
import java.io.*;
/*
Объединение файлов
*/
public class Solution {
public static void main(String[] args) throws IOException {
BufferedReader reader = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
String fileName1 = reader.readLine();
String fileName2 = reader.readLine();
try(FileInputStream file1 = new FileInputStream(fileName1);
FileOutputStream tmp = new FileOutputStream(fileName2);
FileInputStream file2 = new FileInputStream(fileName2);
FileOutputStream result = new FileOutputStream(fileName1)) {
while (file1.available() > 0)
tmp.write(file1.read());
while (file2.available() > 0)
result.write(file2.read());
}
}
}