Нужен ли здесь @override метода run?

Насколько я знаю - технически не нужно, на выполнение кода не влияет. Практически - приветствуется для улучшения читабельности. Считай это формализованной разновидностью комментария.

всегда при переопределении методов писать аннотацию @Override.

полностью не согласен с комментариями ниже по поводу фразы "Аннотация@Override не обязательна". Возможно сейчас в данных задачках это так просто, но уже в активной разработке, когда будут использоваться бины и в частности Spring Boot, то там это необходимо! все аннотации придуманы не просто так!!!

Аннотация@Override не обязательна и ее невозможно было сделать обязательной по причине обратной несовместимости c кодом написанным для < Java 1.5. Более того @Override удаляется при компиляции, но по причинам уже расписанным ниже @kira.koritsa, а именно избегания человеческих ошибок, его лучше всегда использовать.

вообще, @override - необязательная штука. можно и без неё, компилятор всё равно запустится. но, например, в реальных проектах, где твой код будут читать другие программисты, лучше обозначать, что вот этот метод - переопределённый, чтобы: 1) другой человек знал, что это именно переопределенный метод, 2) если вдруг забудешь написать/перепутаешь какой-либо параметр/модификатор доступа в сигнатуре метода, IDE подсказала, что: "братан, сигнатура оригинала переопределяемого метода написана не так"