Нельзя использовать нестатические переменные внутри блока static

Тебе нужно разобраться что такое статика в целом. Статика это нечто на уровне класса, оно существует в единственном экземпляре, оно существует всегда если есть сам класс. Обычные поля и методы (не статические) существуют на уровне экземпляра класса (т.е. объекта). Ты не можешь к ним обратиться вот напрямую, только через экземпляр и у каждого экземпляра поле будет иметь уникальное значение. Вот тебе пример:

public class Cat {

    String name;

    public static void main(String[] args) {
        Cat.name = "Test_Name"; // Вот так работать не будет, поле не статическое
        Cat particularCat = new Cat();
        particularCat.name = "Particular_name"; // А вот так будет
    }
}

Как видишь, в статическом методе main я оперирую нестатической переменной name, но делаю это через экземпляр класса. Твой блок статик вообще ничем не отличается в данном случае (хотя отличия в жизненном цикле есть, статик блок отрабатывает только один раз при инициализации класса, но и то и другое это статический контекст). Я не вижу всего кода, но полагаю что Solution.cat это как раз статическая переменная типа Cat на уровне класса Solution, потому ты легко можешь к ней обратиться через имя класса в статическом блоке. Ты инициализируешь ее новым объектом типа Cat. А дальше уже у этого объекта сетишь не статическое поле name - это более чем нормально, ведь ты обращаешься уже к полю экземпляра класса, а не как к статику, у него (экземпляра) оно (поле) существует.