ڪمپيوٽر جي ياداشت ۾ حقيقي نمبر. وضاحت.

منجهند جو سلام پهرين جستجو (سيڪشن 2. فلوٽنگ پوائنٽ نمبرز جو ڍانچو) جي ليڪچر ”حقيقي نمبرن سان ڪم ڪرڻ جا نزاڪت“ ۽ ان موضوع تي اضافي ليڪچر پڙهڻ دوران، ڪيترن کي هن موضوع تي ڪيترن ئي سوالن جو منهن ڏسڻو پوندو. شروعات ۾، مون پاڻ کي ضروري جواب ڏيڻ جي ڪوشش ڪئي، ۽ هاڻي آئون توهان کي پيش ڪريان ٿو توهان جي مدد ڪرڻ لاء توهان کي مڪمل طور تي هڪ منطقي ترتيب ۾ سمجهڻ ۾. 1. ڊيسيمل ۽ بائنري نمبر سسٽم. 1.1 اعشاريه نمبر سسٽم ھڪڙو عام سسٽم آھي؛ اھو اھو آھي جيڪو اسان اسڪول، يونيورسٽي، زندگيءَ ۾ ڪنھن به غير ڪمپيوٽر جي رياضياتي حسابن لاءِ استعمال ڪندا آھيون. اهو انگ استعمال ڪري ٿو 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0 (عربي) - مجموعي طور تي 10 عدد. هتي انگن لاء هڪ رومن اشارو پڻ آهي، جيڪو، جيتوڻيڪ، عملي طور تي هاڻي استعمال نه ڪيو ويو آهي. اعشاري نظام ۾، ڳڻپ يونٽن ۾ ڪئي ويندي آهي، ڏهه، سئو، هزار، ڏهه هزار، سئو هزار، لکين وغيره. - ٻين لفظن ۾، اهي سڀ انگ جا انگ آهن. عدد جو عدد نمبر رڪارڊ ۾ عدد جي پوزيشن (جڳه) آهي . قدرتي انگن جو گھٽ ۾ گھٽ عدد (۽ گھٽ ۾ گھٽ اھم ) يونٽن جو عدد آھي (ساڄي طرف). ڇو ته هو سڀ کان وڌيڪ غير معمولي آهي؟ ڇاڪاڻ ته هڪ عدد جي يونٽ جي انگن اکرن کي ڇڏڻ سان، انگ پاڻ کي گهٽ ۾ گهٽ تبديل ڪندو (مثال طور، نمبر 345 ۽ 340). اڳيون، ٻيو نمبر ڏهه عدد آهي، وغيره. هي سڀ ڇا مطلب آهي؟ اچو ته ڊيسيمل سسٽم ۾ ڪو به انٽيجر وٺون ۽ ان کي انگن ۾ ٽوڙيو . 3297 = 3*1000 + 2*100 + 9*10 + 7 اهڙيءَ طرح، اسان کي معلوم ٿئي ٿو ته نمبر 3297 ۾ چوٿين عدد جا 3 يونٽ آهن (يعني 3 هزار)، ٽئين عدد جا 2 يونٽ (2 سئو)، 9 . ٻئي عدد جا يونٽ (9 ٽين) ۽ پهرين عدد جا 7 يونٽ . ٻين لفظن ۾، هي انگ ٽي هزار ٻه سئو ستين آهي ۽ اهو، ان جي مطابق، پوزيشن آهي . جزوي (حقيقي) انگن جي انگن بابت ڇا ؟ جزياتي انگن جي انگن کي (انهن جو جزوي حصو) سڏيو ويندو آهي: ڏهين، سئو، هزار، ڏهه هزار، وغيره. جيترو پري آهي انگ اکر واري نقطي کان (نمبر جي سڄي حصي کان)، اهو گهٽ اهم آهي (ان کي رد ڪرڻ سان، انگ جو قدر ٿورو تبديل ٿيندو). مثال طور، اچو ته ڪنهن به فرڪشنل انگ کي ڏيون ٿا جيڪو ڊيزيمل طور پيش ڪيو ويو آهي: 25.076 = 2*10 + 5 +0*0.1 + 7*0.01 +6*0.001 اهڙيءَ طرح، اسان ڏسون ٿا ته فرڪشنل نمبر 25.076 ۾ 2 ٽين، 5 يونٽ، 0 ڏهين شامل آهن. ، 7 سئو ۽ 6 هزار. اعشاريه سسٽم 10 عددن ۽ 10 جڳهن جا ضرب استعمال ڪري ٿو - ان ڪري نالو "ڊيسيمل" آهي. 1.2 بائنري نمبر سسٽم هڪ نمبر سسٽم آهي جيڪو تقريبن سڀني جديد ڪمپيوٽرن ۽ ٻين ڪمپيوٽرن جي اليڪٽرانڪ ڊوائيسز ۾ استعمال ٿيندو آهي. انگن کي رڪارڊ ڪرڻ لاء، اهو صرف ٻه انگ اکر استعمال ڪندو آهي - 0 ۽ 1. اهو مونجهارو نه ڪرڻ لاءِ ته ڪهڙي نمبر سسٽم ۾ نمبر لکيو ويو آهي، ان کي هيٺئين ساڄي پاسي هڪ اشارو ڏنو ويو آهي (اهو نمبر سسٽم جو بنياد آهي ) لاءِ. مثال: 1000₁₀ 1000₂ هتي پهريون نمبر اعشاريه سسٽم ۾ واقف هزار آهي ، ۽ هيٺيون نمبر بائنري سسٽم جي نمائندگي ۾ نمبر آهي ۽ اهو ڊيسيمل سسٽم ۾ برابر آهي... 8 ! ڊيسيمل سسٽم وانگر، بائنري سسٽم پڻ انگن کي انگن ۾ ورهائي ٿو . بائنري نمبر ۾ هر عدد کي بٽ (يا عدد ) چئبو آهي. (جيڪڏهن ڪو به دلچسپي رکي ٿو، چار بٽ هڪ نبل (يا ٽيٽراڊ) آهي، 8 بٽ هڪ بائيٽ آهي ، 16 بٽ هڪ لفظ آهي ، 32 بٽ هڪ ٻه لفظ آهي ). بِٽ (ڊجيٽ) پڻ ساڄي کان کاٻي طرف شمار ڪيا ويا آهن، صفر کان شروع ٿي (ڊسيمل سسٽم جي برعڪس). گھٽ ۾ گھٽ اھم، گھٽ ۾ گھٽ اھم، ساڄي ساٽ جو تسلسل نمبر آھي 0 . اڳيان اچي ٿو پھريون بٽ، ٻيو ، وغيره، جيترو پراڻو سا، اوترو وڌيڪ اھم آھي (جيڪڏھن ڊيسيمل سسٽم سان قياس سان اسين سمجھون ٿا - جيڪڏھن توھان انھن کي نمبر 1455 مان ڪڍي ڇڏيو، توھان کي 1450 نمبر سان ڇڏي ڏنو ويندو. - لڳ ڀڳ هڪ جي برابر آهي شروعاتي جي. پر جيڪڏهن توهان سوين کي هٽائي ڇڏيو، توهان وٽ 1050 نمبر رهجي ويندو، جيڪو اڳ ۾ ئي ابتدائي قدر کان پري آهي، ڇاڪاڻ ته سوين جڳهه يونٽ جي جڳهه کان وڌيڪ اهم (اعلي ترتيب) آهي. ). مثال. تري ۾، هن فريڪشنل بائنري نمبر جا بٽ ڳاڙهي رنگ ۾ ڏنل آهن - مجموعي طور تي اسان وٽ هن نمبر جا 18 بٽ (ڊجيٽ) آهن. اڳتي ڏسي رهيو آهيان، مان اهو نوٽ ڪرڻ چاهيان ٿو ته جزوي نمبر ڪمپيوٽر جي ياداشت ۾ مڪمل طور تي مختلف طريقي سان محفوظ ٿيل آهن - اهو بعد ۾ بحث ڪيو ويندو. انهي مهل، اچو ته سکو ته ڪيئن نمبرن کي هڪ نمبر سسٽم کان ٻئي ۾ تبديل ڪجي. 2. عددي سرشتي مان عددن ۽ جزن کي بائنري سسٽم ۾ تبديل ڪرڻ ۽ ان جي برعڪس. 2.1 ڊيسيمل کان بائنري ۾ تبديلي. 2.1.1 عدد. انٽيجر ڊيسيمل نمبر کي بائنري نمبر سسٽم ۾ تبديل ڪرڻ لاءِ، توھان کي ھن نمبر کي 2 سان ورهائڻو پوندو، تقسيم جي باقي حصي کي لکو (اھو ھميشه 0 يا 1 جي برابر ھوندو آھي، ان تي منحصر آھي ته نمبر برابر آھي يا بي) ، ۽ ورهاڱي جي نتيجي کي ٻيهر 2 سان ورهايو، ٻيهر ورهاڱي جي باقي حصي کي لکو (0 يا 1)، ۽ ٻئي ڀاڱي جي نتيجي کي ٻيهر 2 سان ورهايو، انهي طريقي سان جاري رکو جيستائين ڊويزن جو نتيجو هڪ برابر نه ٿئي. اڳيون، اسان سڀني نتيجن کي لکون ٿا ظرف ۽ هڪ ٻئي کي ريورس آرڊر ۾ ، سڀ کان تازو ڊويزن جي نتيجي سان شروع ٿئي ٿو، جيڪو هميشه 1 جي برابر هوندو آهي. اهم نوٽ. 2 جي ذريعي ڪنهن به عدد جي ترتيب وار ورهاڱي جو آخري نتيجو هميشه هڪ هوندو (1)! جيڪڏهن نتيجو 1 کان وڌيڪ آهي، اسان هن نتيجي کي 2 سان ورهائڻ جاري رکون ٿا جيستائين اسان هڪ نتيجو حاصل ڪريون. ۽ 2 ذريعي ورهاڱي جو نتيجو صفر (0) صرف هڪ صورت ۾ ٿي سگهي ٿو - هي خود 2 سان صفر جي تقسيم آهي. مثال. اچو ته نمبر 145 کي ڊيسيمل سسٽم مان بائنري ۾ تبديل ڪريون. 145/2 = 72 (باقي 1 ) 72/2 = 36 (باقي 0 ) 36/2 = 18 (باقي 0 ) 18/2 = 9 (باقي 0 ) 9/2 = 4 (باقي 1 ) 4/2 = 2 (باقي 0 ) 2/2 = 1 (باقي 0 ) ھاڻي اسان پنھنجي بائنري نمبر کي ريورس آرڊر ۾ ”جمع“ ڪريون ٿا. اسان نمبر 10010001 حاصل ڪيو. ٿي ويو! دلچسپ nuance 1. اچو ته نمبر 1 کي ڊيسيمل سسٽم مان بائنري ۾ تبديل ڪريون. بائنري سسٽم ۾، هن نمبر کي به 1 لکيو ويندو. آخرڪار، 2 جي تقسيم جو آخري نتيجو، جيڪو 1 جي برابر هجڻ گهرجي، اڳ ۾ ئي نمبر 1 جي برابر آهي. 1₁₀ = 1₂ دلچسپ nuance 2. اچو ته تبديل ڪريون. انگ 0 ڊسيمل سسٽم کان بائنري تائين. بائنري سسٽم ۾، هي نمبر به 0. 0₁₀ = 0₂ 2.1.2 Fractional انگن طور لکيو ويندو . فريڪشنل انگن کي بائنري ۾ ڪيئن بدلجي؟ بائنري نمبر سسٽم ۾ ڊيسيمل فريڪشن کي تبديل ڪرڻ لاءِ، توهان کي لازمي طور تي: الف) پيراگراف 2.1.1 ۾ اڀياس ڪيل الگورٿم جي مطابق فرڪشن جي پوري حصي کي بائنري سسٽم ۾ تبديل ڪريو ب) فرڪشنل ڀاڱي کي 2 سان ضرب ڪريو ، لکو. ڊيسيمل پوائنٽ کان اڳ نتيجن جو نتيجو وارو انگ (هميشه 0 يا 1 جي برابر آهي، جيڪو منطقي آهي)، پوء صرف حاصل ڪيل نتيجن جي جزوي حصي کي 2 سان ضرب ڪريو، ٻيهر لکو نتيجي جي نتيجي واري انگن اکرن کي ڊيسيمل پوائنٽ (0 يا 1) کان اڳ ۽ ائين ئي اڳتي وڌو جيستائين جزوي ضرب جي نتيجي جو حصو 0 جي برابر ٿي وڃي ٿو يا تيستائين ڊيسيمل جڳهن جي گهربل تعداد (گهربل درستي ) (گهربل جي تعداد جي 2 جي برابر). ان کان پوء توهان کي لازمي طور تي لکيل صفر جي نتيجي ۾ ترتيب ڏيڻ جي ضرورت آهي ۽ ان جي ترتيب ۾ هڪ نقطي کان پوء حقيقي (فريڪشنل) نمبر جي مڪمل ۽ جزوي حصن کي الڳ ڪرڻ کان پوء. مثال 1. اچو ته نمبر 2.25 (2 پوائنٽ 25 سئوٿ) کي ڊيسيمل سسٽم مان بائنري سسٽم ۾ تبديل ڪريون. بائنري سسٽم ۾ حصو 10.01 جي برابر هوندو . اسان اهو ڪيئن حاصل ڪيو؟ انگ هڪ عددي حصي تي مشتمل آهي (هڪ نقطي تائين) - هي آهي 2 ۽ هڪ جزوي حصو - هي آهي 0.25. 1) سڄي حصي جو ترجمو: 2/2 = 1 (باقي 0 ) سڄو حصو 10 ٿيندو . 2) جزوي حصو جو ترجمو. 0.25 * 2 = 0 .5 (0) 0.5 * 2 = 1 .0 (1) 2 سان لڳاتار ضرب ڪرڻ جي نتيجي ۾ جزوي حصو 0 جي برابر ٿي ويو. اسان ضرب ڪرڻ بند ڪريون ٿا. ھاڻي اسان "گڏيل" جزوي حصو ترتيب ۾ - اسان حاصل ڪندا آھيون 0.01 بائنري سسٽم ۾. 3) انٽيجر ۽ فرڪشنل حصا شامل ڪريو - اسان کي معلوم ٿئي ٿو ته ڊيسيمل فريڪشن 2.25 بائنري فريڪشن 10.01 جي برابر هوندو . مثال 2. اچو ته نمبر 0.116 کي ڊيسيمل سسٽم مان بائنري سسٽم ۾ تبديل ڪريون. 0.116 * 2 = 0.232 (0) 0.232 * 2 = 0.464 (0) 0.464 * 2 = 0.928 (0) 0.928 * 2 = 1.856 (1) // هن نتيجي جو پورو حصو رد ڪريو 0.856 = 217 * ) // هن نتيجي جو پورو حصو رد ڪريو 0.712 * 2 = 1 .424 (1) // هن نتيجي جو پورو حصو رد ڪريو 0.424 * 2 = 0 .848 (0) جيئن اسان ڏسي سگهون ٿا، ضرب اڳتي وڌندي رهي ٿي. ، نتيجي جو جزوي حصو 0 جي برابر نه ٿو ٿئي. پوءِ اسان فيصلو ڪريون ٿا ته اسان پوائنٽ کان پوءِ (فرڪشنل حصي ۾) 7 ڊيسيمل جڳهن (بٽس) جي درستگي سان پنهنجي ڊيسيمل فريڪشن کي بائنري ۾ تبديل ڪنداسين. اچو ته اسان کي ياد رکون ته اسان غير معمولي بٽس بابت ڇا مطالعو ڪيو آهي - سا (بٽ) سڄي حصي کان وڌيڪ آهي، اسان لاء ان کي نظرانداز ڪرڻ آسان آهي (ليڪچر جي سيڪشن 1 ۾ وضاحت، جيڪو وساريو). اسان حاصل ڪندا آهيون بائنري فريڪشن 0.0001110 ڊٽ کان پوءِ 7 بِٽ جي درستگي سان. 2.2 بائنري کان ڊيسيمل ۾ تبديلي. 2.2.1 عدد. سڄو ترجمو ڪرڻبائنري نمبر سسٽم کان ڊيسيمل تائين، اهو ضروري آهي ته هن نمبر کي انگن (بٽ) ۾ ورهايو وڃي ۽ هر عدد (بٽ) کي نمبر 2 سان هڪ خاص مثبت درجي تائين ضرب ڪيو وڃي (هي درجي ساڄي کان کاٻي کان گهٽ ۾ گهٽ اهم کان ڳڻڻ شروع ٿئي ٿو. (ساڄي سا) ۽ 0 کان شروع ٿئي ٿو ). ٻين لفظن ۾، ٻن جي طاقت هڪ ڏنل بٽ جي تعداد جي برابر آهي (پر اهو اڻ لکيل اصول صرف انٽيجرز کي تبديل ڪرڻ جي صورت ۾ استعمال ڪري سگهجي ٿو ، ڇاڪاڻ ته جزوي انگن لاء بٽس جي انگن اکرن کي جزوي حصي ۾ شروع ٿئي ٿو، جيڪو ترجمو ڪيو ويو آهي. ڊيسيمل سسٽم ۾ مختلف طور تي ). اڳيون توھان کي شامل ڪرڻ جي ضرورت آھي نتيجي ۾ مصنوعات. مثال. اچو ته بائنري نمبر 110011 کي ڊيسيمل نمبر سسٽم ۾ تبديل ڪريون. 110011₂ = 1*2⁵ + 1*2⁴ + 0*2³ + 0*2² + 1*2¹ + 1*2º = 32 +16 +0 + 0 + 2 + 1 = 51₁₀ نتيجي طور ، اسان نمبر 51 حاصل ڪندا آهيون بائنري سسٽم. معلومات لاءِ، هيٺ ڏنل جدول نمبر 2 جي پھرين طاقتن جو آھي . ! مھرباني ڪري نوٽ ڪريو ته ھڪڙي عدد جي صفر پاور ھميشه 1. 2.2.2 فريڪشنل انگ آھي. بائنري فريڪشنل (حقيقي) نمبر کي ڊيسيمل ۾ تبديل ڪرڻ لاءِ ، توھان کي لازمي آھي: الف) ان جي انٽيجر پارٽ کي ڊيسيمل ۾ تبديل ڪريو پيراگراف 2.2.1 جي الگورتھم مطابق ؛ ب) ان جي جزوي حصي کي ھيٺئين طور ترجمو ڪريو. اهو ضروري آهي ته جزوي حصو کي ٻن عددن جي پيداوار جي مجموعن جي طور تي پيش ڪيو وڃي ، هڪ خاص منفي طاقت ڏانهن وڌايو ويو ( پوائنٽ کان پوء پهرين عدد جي طاقت (فريشن جي مڪمل حصي کان پوء) -1 جي برابر هوندي، ٻئي عدد لاءِ پوائنٽ کان پوءِ -2 جي برابر ٿيندو، وغيره.) نتيجو اهو ٿيندو ته اها رقم ڊيسيمل سسٽم ۾ انگ جو جزوي حصو هوندو. مثال. اچو ته نمبر 10111.01 کي بائنري سسٽم ۾ تبديل ڪريون. 10111.01₂ = (1*2⁴ + 0*2³ + 0*2² + 1*2¹ + 1*2º). (0*2ˉ¹ + 1*2ˉ²) = (16 + 0 + 4 + 2 + 1) . (0 + 0.25) = 23.25₁₀ نتيجي طور، اسان حاصل ڪندا آهيون 23.25 عددي نمبر سسٽم ۾. 2 جي پهرين منفي قوتن جو جدول هيٺ ڏنل آهي. 2.2.3 انگن کي بائنري کان ڊيسيمل ۾ تبديل ڪرڻ لاءِ عام فارمولا. اچو ته انگن کي بائنري مان ڊيسيمل (انٽيجر ۽ فرڪشنل حصا ٻئي) ۾ تبديل ڪرڻ لاءِ هڪ عام فارمولا ڏيون. جتي A بائنري نمبر سسٽم ۾ هڪ نمبر آهي؛ نمبر سسٽم جو بنياد 2 آهي (مطلب ته هر بٽ کي 2 سان طاقت سان ضرب ڪيو ويندو آهي)؛ n- عددي عددن جو تعداد (بٽ) ؛ m آهي عدد جي fractional digits (bits) جو انگ . ورهائڻ واري نقطي کان انٽيجر جو پهريون حصو ڳاڙهي رنگ ۾ نمايان ٿيل آهي. اهو هميشه 2 کان صفر جي طاقت سان ضرب ڪيو ويندو آهي. ان کان اڳ ايندڙ ساٽ (کاٻي طرف) کي 2 سان ضرب ڪيو ويو آهي پهرين طاقت، وغيره. ورهائڻ واري نقطي کان جزوي حصو جو پهريون حصو سائي ۾ نمايان ٿيل آهي. اهو هميشه 2 سان ضرب ڪيو ويندو آهي مائنس پهرين طاقت سان. ساڄي طرف ايندڙ بٽ کي 2 سان ضرب ڪيو ويو آهي مائنس سيڪنڊ پاور وغيره. 3. سائنسي نوٽيفڪيشن: ٻنهي سسٽم ۾ هڪ معمولي نوٽيفڪيشن. متشابه، ظرف، ظرف جو درجو. 3.1 عدد لکڻ جي تجزياتي شڪل. اڳي، اسان هڪ تفصيلي اسڪيم جو اڀياس ڪيو هو ته عددي انگن اکرن کي رڪارڊ ڪرڻ لاءِ. اچو ته نمبر وٺون 0.000000000000000000016 . اهو معياري شڪل ۾ هڪ تمام ڊگهو داخلا آهي . ۽ ايڪسپورنيشنل فارم ۾ اهو هن طرح نظر ايندو: 1.6 * 10ˉ²¹ پوءِ ڪنهن عدد جو ظرفي روپ ڇا آهي ۽ هن شڪل ۾ هڪ عدد کي ڪيئن پيش ڪجي؟ هڪ عدد لاءِ سائنسي اشارو آهي حقيقي انگن جي نمائندگي هڪ مينٽيسا ۽ ايڪسپونٽ جي طور تي . تمام وڏي ۽ تمام ننڍڙن انگن جي نمائندگي ڪرڻ لاءِ آسان، ۽ گڏوگڏ انھن جي لکڻين کي متحد ڪرڻ لاءِ. N = M * pⁿ جتي N اهو نمبر آهي جنهن کي لکڻو آهي، M انگ جو مينٽيسا آهي ، p بنيادي آهي (ڏيل نمبر جي نمبر سسٽم جي بنياد جي برابر)، n (انٽيجر) آرڊر آهي (درجو) ، مثبت ۽ منفي ٿي سگھي ٿو)، p تائين n جي طاقت جو خصوصيت وارو انگ آھي (تفصيل، يعني بيس اٿاريو ويو ھڪ پاور (آرڊر)). هڪ اهم nuance. جيڪڏهن اعشاريه نمبر جو انٽيجر حصو 0 کان مختلف آهي ، ته پوءِ ايڪسپونٽ جو آرڊر (درجو) مثبت ٿيندو ، جيڪڏهن انٽيجر جو حصو 0 جي برابر آهي ، ته ايڪسپورنٽ جو درجو منفي هوندو . 3.2 لکڻ جي انگن جي عام ۽ معمولي شڪل. عدد جو عام روپ هڪ فارم آهي جنهن ۾ مينٽيسا (بغير نشاني جي حساب ۾) اڌ وقفي تي واقع آهي [0,1]، يعني 0 <= M <1. لکڻ جي هن شڪل ۾ هڪ آهي. واپسي : ڪجهه انگ اکر لکيا ويندا آهن (مثال طور، 0.0001 کي لکي سگهجي ٿو 0.000001*10²، 0.00001⋅10¹، 0.0001⋅10º، 0.001⋅10ˉ¹ وغيره). تنهن ڪري، رڪارڊنگ جو هڪ ٻيو روپ وسيع آهي (خاص طور تي ڪمپيوٽر سائنس ۾) - عام، جنهن ۾ ڊيسيمل نمبر جو مينٽيسا 1 (شامل) کان وٺي 10 (خاص) تائين قدر وٺندو آهي، يعني 1 <= M <10 (ساڳي طرح، هڪ بائنري نمبر جو مينٽيسا 1 کان 2 تائين قدر وٺندو آهي. ). ٻين لفظن ۾، decimal سسٽم ۾ mantissa هڪ جزوي نمبر هجڻ گهرجي 1.0 (شامل) کان 10 (خاص) ، يعني. مينٽيسا جو انٽيجر حصو لازمي طور تي ھڪڙي عدد تي مشتمل آھي، ۽ جزوي حصو رياضياتي طور تي محدود نه آھي. عام ٿيل فارم جو فائدو اهو آهي ته، اهڙيء طرح، ڪو به نمبر (سواء 0) هڪ منفرد انداز ۾ لکيو ويو آهي. نقصان اهو آهي ته هن فارم ۾ 0 جي نمائندگي ڪرڻ ناممڪن آهي، تنهنڪري ڪمپيوٽر سائنس ۾ انگن جي نمائندگي نمبر 0 لاءِ هڪ خاص نشاني (بٽ) مهيا ڪري ٿي. 3.3 اعشاريه انگن اکرن کي exponential normalized form ۾ لکڻ جا مثال. اچو ته مثالن تي نظر رکون. مثال 1. اچو ته لکون ڊيسيمل نمبر 1015000 (هڪ لک پندرهن هزار) کي exponential normalized form ۾. ھن نمبر لاءِ نمبر سسٽم ڊيسيمل آھي، تنھنڪري بنياد 10 ھوندو . اچو ته مينٽيسا کي چونڊيو . هن کي ڪرڻ لاء، تصور ڪريو انگ کي هڪ جزي طور، جنهن جو جزوي حصو صفر جي برابر هوندو (جيئن ته نمبر هڪ عدد آهي): 1000000.0. جيڪڏهن عدد جو انٽيجر حصو 0 کان وڏو آهي ته پوءِ پوائنٽ کي ان جي شروعاتي پوزيشن جي کاٻي پاسي (انٽيجر واري حصي جي اندر) منتقل ڪريو جيستائين انٽيجر واري حصي ۾ صرف هڪ عدد باقي نه رهي . ان کان پوء اسان هڪ عرصو رکيو. اسان غير معمولي صفر کي رد ڪريون ٿا (نمبر جي آخر ۾). اسان 1.015 جي برابر نمبر جي مانيسا حاصل ڪندا آهيون . اچو ته عدد جي بنياد جي درجي (آرڊر) جو اندازو لڳايو. اسان جي نقطي کي کاٻي پاسي ڪيترين پوزيشنن کي الڳ ڪيو ويو آهي جيڪو انٽيجر ۽ فرڪشنل حصن کي الڳ ڪري ٿو؟ ڇهين پوزيشن لاء. هن جو مطلب آهي آرڊر 6 هوندو . انهي حالت ۾، آرڊر مثبت آهي (اسان پوائنٽ کي نمبر جي انٽيجر حصي ۾ منتقل ڪيو 0 جي برابر ناهي). آخري داخلا عام فارم ۾: 1.015 * 10⁶ . اسان ھن نمبر کي ھن فارم ۾ لکي سگھون ٿا: 1.015E6 (جتي E6 ھڪڙي ڊيسيمل نمبر جو ايڪسپونٽ آھي ، يعني 10 کان 6 پاور). اچو ته پاڻ کي آزمايون . هڪ عدد لاءِ Exponential Notation هڪ عدد (mantissa) ۽ ٻئي نمبر (exponent) جي پيداوار کان وڌيڪ ڪجهه به ناهي. جيڪڏهن توهان 1.015 کي 10⁶ سان ضرب ڪيو ته ڇا ٿيندو؟ 1.015*10⁶ = 1.015*1000000 = 1015000 . اهو درست آهي. هي طريقو (عام) هڪ غير واضح رڪارڊ ٺاهڻ ۾ مدد ڪري ٿو انگن اکرن جي روپ ۾، جيئن مٿي ڄاڻايل آهي. مثال 2. اچو ته لکون اعشاريه حقيقي نمبر 0.0098 کي عام شڪل ۾. اچو ته نمبر جي بنياد کي نمايان ڪريون - اھو 10 جي برابر آھي (ڊيسيمل نمبر سسٽم). اچو ته نمبر جو مينٽيسا چونڊيو - اهو 9.8 جي برابر آهي (نمبر جو انٽيجر حصو صفر جي برابر آهي، جنهن جو مطلب آهي ته اسان پوائنٽ کي ساڄي طرف پهرين اهم عدد ڏانهن منتقل ڪريون ٿا (1 کان 9 تائين جي حد ۾ شامل آهي) . اسان انگ جي ترتيب کي طئي ڪريون ٿا- اسان پوائنٽ کي ٽن پوزيشن سان منتقل ڪيو، جنهن جو مطلب آهي آرڊر 3 آهي . ڇا اهو مثبت آهي يا منفي؟ جتان اسان پوائنٽ کي ساڄي طرف منتقل ڪيو (نمبر جي جزوي حصي ۾)، آرڊر (طاقت) منفي ٿيندو . عام شڪل ۾ انگ جو آخري رڪارڊ 9.8 * 10ˉ³ يا 9.8E-3 آهي . اچو ته پاڻ کي ٻيهر جانچيون. 9.8 کي 10ˉ³ سان ضرب ڪريو. 9.8 * 10ˉ³ = 9.8 * 0.001 = 0.0098 صحيح. مثال 3. اچو ته اعشاريه حقيقي نمبر 3.56 لکون عام شڪل ۾. عدد جو بنياد منتخب ڪريو - اھو 10 جي برابر آھي (ڊيسيمل نمبر سسٽم). نمبر جو مينٽيسا چونڊيو - اھو برابر آھي ... 3.56 (انٽيجر). انگ جو حصو ھڪڙو واحد عدد آھي، 0 جي برابر نه آھي. ان جو مطلب آھي ته پوائنٽ کي ڪٿي به منتقل ڪرڻ جي ضرورت نه آھي، اھو انگ پاڻ مينٽيسا ھوندو.) اچو ته بنيادي جي ترتيب کي اجاگر ڪريون: مانٽيسا کي ڪھڙي نمبر سان ھجڻ گھرجي ، برابر عدد جي برابر، ضرب ڪيو وڃي ته جيئن اهو تبديل نه ٿئي؟ في يونٽ. هن جو مطلب آهي ته حڪم صفر ٿيندو. عام شڪل ۾ انگ جو آخري رڪارڊ 3.56 * 10º يا 3.56E0 آهي. 4. ڪمپيوٽر جي ياداشت ۾ حقيقي نمبرن کي محفوظ ڪرڻ: فلوٽ ۽ ڊبل. 4.1 قسم فلوٽ ۽ ڊبل. اچو ته اسان جي ليڪچر جي اهم حصي ڏانهن وڃو. جيئن ته اسان اڳ ۾ ئي ڄاڻون ٿا، جاوا ۾ حقيقي انگن جا ٻه قسم آهن: float ۽ double . فلوٽ قسم ڪمپيوٽر جي ميموري ۾ 32 بٽ تي قبضو ڪري ٿو ۽ رينج ۾ قدر وٺي سگھي ٿو [3.4E-38؛ 3.4E+38) (ٻين لفظن ۾، رينج ۾ 3.4*10ˉ³⁸ (شامل) کان 3.4 * 10³⁸ (سواءِ)). اهم nuance 1. فلوٽ نمبر يا ته مثبت يا منفي ٿي سگهن ٿا. مٿي ڏنل حد پيش ڪئي وئي آهي اشارو ڪرڻ لاءِ انگن جي ماڊلز جي فلوٽ رينج ۾ شامل. اهم nuance 2. 10³⁸ تقريبن 2¹²⁷ جي برابر آهي ، ترتيب سان، 10 ˉ³⁸ لڳ ڀڳ 2ˉ¹²⁷ جي برابر آهي . اهڙيءَ طرح، فلوٽ انگن جي مطلق قدرن جو وقفو [3.4*2ˉ¹²⁷؛ لکي سگهجي ٿو. 3.4 * 2¹²⁷). ڊبل قسم ڪمپيوٽر جي ميموري کان ٻه ڀيرا وڌيڪ وٺندو آهي.64 بٽ ۽ رينج ۾ ڊيسيمل قدر قبول ڪري سگھن ٿا [-1.7E+308؛ 1.7E+308) ترتيب سان. 4.2 بائنري انگن جي ظاھر ڪيل معمولي شڪل. اسان ڄاڻون ٿا ته انگن کي بائنري صورت ۾ ڪمپيوٽر جي ياداشت ۾ محفوظ ڪيو ويندو آهي. تنهن ڪري، اچو ته نمبر 1560.256 (فلوٽ قسم) وٺو ۽ ان کي بائنري سسٽم ۾ پوزيشن فارم ۾ تبديل ڪريو: 11000011000.01000001100 . توهان شايد سوچيو ته اهو ڪيئن ڪمپيوٽر جي ياداشت ۾ محفوظ ڪيو ويندو. پر اهو سچ ناهي! ڪمپيوٽر جي ميموري ۾، فلوٽ ۽ ڊبل قسم ( حقيقي فلوٽنگ پوائنٽ جون قسمون ) ايڪسپونيشنل نارملائزڊ فارم ۾ ذخيرو ٿيل آهن ، پر پاور جو بنياد 10 جي بدران 2 آهي. اهو ان حقيقت جي ڪري آهي ته جيئن مٿي بيان ڪيو ويو آهي، سڀني ڊيٽا ۾. ڪمپيوٽر کي بائنري فارم (bits) ۾ پيش ڪيو ويو آهي. ڪمپيوٽر جي ميموري جي هڪ خاص مقدار هڪ نمبر لاءِ مختص ڪئي وئي آهي. اچو ته ظاھر ڪريون مثبت نمبر 15.2 کي نارمل ايڪسپورنيشنل فارم ۾: 1.52*10¹ . اڳيون، اچو ته ان جي بائنري ”ٽوئن“ 1111.00110011001 جي نمائندگي ڪريون ، ساڳئي الورورٿم کي استعمال ڪندي، ايڪسپورنشل نارمل ٿيل نوٽيشن ۾: 1) بنياد 2 جي برابر هوندو 2) مينٽيسا 1.11100110011001 جي برابر هوندو 3) درجو برابر هوندو ۽ مثبت هوندو 3. (پوائنٽ کي 3 بٽ کاٻي طرف منتقل ڪيو ويو آهي) ڊيسيمل سسٽم ۾. اچو ته ان کي بائنري سسٽم ۾ تبديل ڪريون: 11 . سو بائنري ايڪسپونشنل نارمل ٿيل فارم ۾ اهو هوندو 1.11100110011001*2¹¹. 4.3 ڪمپيوٽر جي ميموري ۾ فلوٽ نمبر جي ايڪسپورنشنل نارمل ٿيل بائنري فارم کي محفوظ ڪرڻ . تنهن ڪري، اسان اهو سمجهيو ته هڪ حقيقي نمبر ڪمپيوٽر جي يادگيري ۾ محفوظ ڪيو ويندو ايڪسپورنشنل نارمل ٿيل بائنري فارم ۾ . ياداشت ۾ ڪيئن نظر ايندي؟ اچو ته فلوٽ جو قسم وٺون . ڪمپيوٽر هر فلوٽ نمبر لاءِ 32 بٽ مختص ڪري ٿو . اهي هن ريت ورهايل آهن . هي انگ اکر ڏيکاري ٿو مختص ڪيل ياداشت کي ڪمپيوٽر ۾ 32-bit فلوٽ نمبر لاءِ. بٽ نمبرنگ ڳاڙهي ۾ ڏيکاريل آهي . سائي نمبر جي نشاني کي محفوظ ڪرڻ لاءِ مختص ڪيل ميموري (1 بٽ) جو هڪ ٽڪرو اشارو ڪري ٿو. پيلو اشارو ڏئي ٿو مختص ڪيل ياداشت جي هڪ ٽڪري کي محفوظ ڪرڻ لاءِ شفٽ ٿيل پاور (آرڊر) جي انگن اکرن واري فارم (8 بٽ). نيروهڪ عدد جي معمولي مانيسا کي ذخيرو ڪرڻ لاءِ مختص ڪيل ميموري جو هڪ ٽڪرو ظاهر ڪري ٿو بغير ڪنهن غير معمولي يونٽ (23 بٽ). اچو ته هڪ ويجهي نظر وٺو. 1) سائن بٽ. سڀ کان وڌيڪ اھم (کاٻي کان پھريون) بٽ هميشه نمبر جي نشاني کي ذخيرو ڪرڻ لاء مختص ڪيو ويو آھي (1 جيڪڏھن نمبر منفي آھي، ۽ 0 جيڪڏھن نمبر مثبت آھي). هڪ استثنا ٿي سگهي ٿو صفر نمبر - پروگرامنگ ۾، صفر منفي ۽ مثبت ٿي سگهي ٿو . 2) اڳتي اچي بيس 2 سان ايڪسپونٽ جي درجي (آرڊر) جا بٽ . هن لاء، 8 بٽ مختص ڪيا ويا آهن. فلوٽ نمبرن جو ايڪسپونٽ درجو ، جيئن اسان ڄاڻون ٿا، ٻئي منفي ٿي سگهن ٿا (انهن انگن لاءِ جن جو انٽيجر حصو 0 آهي، ڏسو پيراگراف 3.3) ۽ مثبت (ان انگن لاءِ جن جو انٽيجر حصو صفر کان مختلف آهي) ۽ حدون 2ˉ¹²⁷ کان 2¹²⁷ تائين . نظريي ۾، اسان کي ظاھر جي نشاني کي طئي ڪرڻ لاء ھڪڙو ساٽ مختص ڪرڻ گھرجي، جيئن نشاني بٽ جي صورت ۾ آھي. پر اهو سچ ناهي. ايڪسپورنٽ جي نشاني کي طئي ڪرڻ ۾ ٿورو ضايع نه ڪرڻ لاءِ، فلوٽ نمبر اڌ بائيٽ +127 (0111 1111) جي ايڪسپونٽ ۾ آفسٽ شامل ڪندا آهن . اهڙيءَ طرح، 2ˉ¹²⁷ کان 2¹²⁷ تائين طاقتن جي حد جي بدران، ڪمپيوٽر 0 کان +254 تائين طاقتن جي هڪ حد کي محفوظ ڪري ٿو - سڀ پاور ويلز مثبت آهن ، نشاني تي اضافي بائيٽ ضايع ڪرڻ جي ڪا ضرورت ناهي. اهو ظاهر ٿئي ٿو ته exponent جو قدر ممڪن قدر جي ڀيٽ ۾ اڌ لاڳاپو طرفان منتقل ڪيو ويو آهي . هن جو مطلب آهي ته exponent جي حقيقي قيمت حاصل ڪرڻ لاء، توهان کي هن آفسٽ کي ميموري ۾ محفوظ ڪيل قدر مان ڪڍڻ گهرجي. جيڪڏهن ميموري ۾ محفوظ ڪيل ايڪسپونٽ ويليو آفسٽ (+127) کان گهٽ آهي، ته پوءِ ايڪسپونٽ منفي آهي: هي منطقي آهي. مثال. اچو ته منفي درجي جي شفٽ کي انجام ڏيو -18 . اسان ان ۾ آفسٽ +127 شامل ڪندا آهيون، اسان حاصل ڪندا آهيون درجي جي قيمت +108 (حساب ۾ درجو 0 نه وساريو). اچو ته درجا کي بائنري فارم ۾ تبديل ڪريون: 1101100 پر درجي لاءِ 8 بِٽ ميموري مختص ڪئي وئي آهي، ۽ هتي اسان کي 7-بٽ نمبر ملي ٿو. خالي، غير آباد هاءِ ڊيجٽ (bit) جي جاءِ تي ڪمپيوٽر 0 شامل ڪري ٿو. نتيجو اهو آهي ته هي درجو ڪمپيوٽر جي ميموري ۾ 01101100 طور محفوظ ڪيو ويندو . اچو ته ڏسو: +108 < +127، جنهن جو مطلب آهي ته درجو اصل ۾ منفي آهي. هيٺ ڏنل دلچسپ جدول تي غور ڪريو: اهو بائنري ۽ ڊيسيمل سسٽم ۾ فلوٽ نمبرن جي عام شڪلن جي طاقتن جي سڀني ممڪن قدرن کي ڏيکاري ٿو. جيئن اسان ڏسي سگهون ٿا، بائنري سسٽم ۾ +127 مڪمل بائيٽ جو اڌ آهي (8 بٽ). 3) باقي 23 بٽ مينٽيسا لاءِ محفوظ آهن . پر هڪ نارمل ٿيل بائنري مينٽيسا لاءِ، سڀ کان اهم ساٽ (يعني نارمل ٿيل مينٽيسا جو انٽيجر حصو) هميشه 1 جي برابر هوندو آهي (جنهن کي implicit one سڏيو ويندو آهي )، ڇاڪاڻ ته مينٽيسا جو تعداد رينج 1<=M<2 (۽ ليڪچر جو پيراگراف 2.1.1 پڻ ياد ڪريو). صرف استثنا نمبر 0 آهي. مختص ڪيل 23 بٽس ۾ يونٽ لکڻ ۽ يادگيري ضايع ڪرڻ جو ڪو به مقصد ناهي، تنهنڪري باقي منٽسا (ان جو جزوي حصو) مختص ڪيل 23 بٽس ۾ لکيو وڃي ٿو. اهو ظاهر ٿئي ٿو ته بنيادي طور تي فلوٽ نمبر جي اهم حصي جي ڊيگهه 24 آهي، جنهن مان هڪ گهٽ ذخيرو ٿيل آهي. هڪ اهم nuance. اچو ته ياد رکون ته جڏهن ڊيسيمل فريڪشنل انگن کي بائنري انگن ۾ تبديل ڪيو وڃي ٿو، بائنري سسٽم ۾ فرڪشنل حصو اڪثر ڪري وڏو نڪتو. ۽ اسان وٽ صرف 32 بٽ آهن فلوٽ نمبر محفوظ ڪرڻ لاءِ. انهي صورت ۾، بائنري فريڪشن جا سڀ کان گهٽ، گهٽ ۾ گهٽ اهم انگ (هن ليڪچر جو پيراگراف 2.1.2 ياد رکو) مختص ڪيل ياداشت ۾ شامل نه ڪيو ويندو ۽ ڪمپيوٽر انهن کي نظرانداز ڪندو . انگ جي درستگي گم ٿي ويندي ، پر، توهان ڏسو، اهو گهٽ ۾ گهٽ آهي. ٻين لفظن ۾، فرڪشنل فلوٽ جي درستگي 6-7 ڊيسيمل جڳهن تي آهي . 4.4 ڪمپيوٽر جي ميموري ۾ ڊبل نمبر جي exponential normalized بائنري فارم کي محفوظ ڪرڻ . ڊبل قسم جا حقيقي نمبر ڪمپيوٽر جي ياداشت ۾ ساڳيءَ طرح محفوظ ڪيا ويندا آهن جيئن فلوٽ نمبر، سواءِ ڪجهه خاصيتن جي. ڪمپيوٽر جي ميموري ۾ ڊبل نمبر 64 بِٽ هوندا آهن . اهي هن ريت ورهايل آهن (پڻ کاٻي کان ساڄي ترتيب ۾): 1) سائن بٽ (ڏسو پيراگراف 4.3). اسان سمجهون ٿا ته هن بٽ جو تعداد 63 هوندو . 2) درجي (آرڊر). ڊبل نمبر مختص ڪيا ويا آهن 11 بٽ ان کي ذخيرو ڪرڻ لاءِ . هڪ درجي جي شفٽ پڻ ڪئي وئي آهي ، پر ٻه نمبرن لاء اهو +1023 جي برابر هوندو . 3) Mantissa (اهم حصو). ڊبل نمبر مختص ڪيا ويا آهن 52 بٽ (ڊجيٽ) ان کي ذخيرو ڪرڻ لاءِ. انهي سان گڏ، مينٽيسا ( مضمون يونٽ ) جو پورو پورو حصو ياداشت ۾ محفوظ نه آهي . اهو پڻ نوٽ ڪرڻ جي قابل آهي ته فرڪشنل ڊبلز جي درستگي 16 ڊيسيمل جڳهن بابت آهي . 4.5 ڪمپيوٽر جي ياداشت ۾ ڊيسيمل سسٽم جي حقيقي تعداد جي نمائندگي ڪرڻ جا مثال. ۽ اسان جي ليڪچر جو آخري نقطو هڪ مثال هوندو ڊيسيمل نمبر سسٽم جي فريڪشنل نمبر کي ڪمپيوٽر جي ميموري ۾ ان جي اسٽوريج جي صورت ۾ تبديل ڪرڻ جو موضوع کي سمجهڻ لاءِ. مثال 1. هڪ نمبر وٺو -4.25 فلوٽ جو قسم. اچو ته ان کي بائنري نمبر سسٽم ۾ Exponential Normalized فارم ۾ پيش ڪريون، هر شيءِ کي ياد ڪندي جيڪو اسان هن ليڪچر ۾ شامل ڪيو آهي. 1) عدد جي عددي حصي کي بائنري شڪل ۾ تبديل ڪريو : 4/2 = 2 (باقي ڊويزن 0 ) 2/2 = 1 (بقيه ڊويزن 0 ) انٽيجر جو حصو بائنري سسٽم ۾ 100 جي برابر هوندو . 2) عدد جي جزوي حصي کي بائنري شڪل ۾ تبديل ڪريو . 0.25*2 = 0.5 ( 0 ) 0.5*2 = 1.0 ( 1 ) فرڪشنل حصو بائنري سسٽم ۾ 0.01 جي برابر هوندو . 3) اهڙيءَ طرح، -4.25₁₀ = -100.01₂ . 4) اچو ته نمبر -100.01₂ کي بائنري نمبر سسٽم ۾ ايڪسپونيشنل نارمل ٿيل فارم ۾ تبديل ڪريون (جنهن جو مطلب آهي طاقت جو بنياد 2 هوندو). -100.01₂ = -1.0001 *2² اچو ته درجا جي قدر کي ڊيسيمل فارميٽ کان بائنري ۾ تبديل ڪريون . 2/2 = 1 (باقي 0 ) درجو 10₂ آهي. اسان کي ملي ٿو ته نمبر -4.25₁₀ ان جي بائنري ايڪسپونيشنل نارملائز فارم ۾ -1.0001 * 2¹º جي برابر هوندو ، اچو ته لکون ته اهو ڪمپيوٽر جي ميموري ۾ ڪيئن نظر ايندو. نشاني بٽ 1 ٿيندو (منفي نمبر). exponent offset is equal to 2+127 = 129₁₀ = 10000001₂ اسان مينٽيسا مان ضمني هڪ کي هٽائينداسين ، اسان حاصل ڪندا آهيون 00010000000000000000000 ( اسان غير آباد ٿيل گهٽ آرڊر بٽس کي ڀريندا آهيون ). هيٺين لائن. 1 10000001 00010000000000000000000 - اهڙي طرح نمبر -4.25 ڪمپيوٽر جي ياداشت ۾ محفوظ ٿيل آهي. مثال 2. فلوٽ نمبر 0.75₁₀ کي ڪمپيوٽر ميموري ۾ بائنري اسٽوريج فارميٽ ۾ تبديل ڪريو . نتيجو هجڻ گهرجي 0 01111110 10000000000000000000000 . توجه لاءِ مهرباني.