浮點數裡面有什麼、它是如何運作的？

內容：

• 介紹
• 歷史之旅
• 浮點數格式
• 標誌和學位
• 尾數
• 結果

圖片：http://pikabu.ru/

介紹

在學習 Java 的最初幾天，我遇到了浮點數這樣奇怪的原語類型。我立即對它們的功能感興趣，更感興趣的是它們用二進位程式碼（互連的）編寫的方式。與任何整數範圍不同，即使在非常小的範圍內（例如，從 1 到 2），它們的數量也是無限的。而且記憶體大小有限，不可能表達這個集合。那麼它們是如何用二進位表示的以及它們是如何運作的呢？唉，維基上的解釋和一篇關於哈布雷的相當酷的文章並沒有讓我完全理解，儘管它們奠定了基礎。直到隔天早上讀完 這篇分析文章後，我才意識到這一點。

歷史之旅

（摘自Habré的這篇文章）在60-70年代，當電腦很大而程式很小時，仍然沒有單一的計算標準，也沒有一個表達浮點數本身的標準。每台計算機的處理方式都不同，都有自己的錯誤。但在 70 年代中期，英特爾決定製造支援「改進」演算法的新處理器，同時對其進行標準化。威廉·卡漢（William Kahan）和約翰·帕爾默（John Palmer）教授（不，不是有關啤酒的書籍的作者）被聘請來開發它。雖然發生了一些戲劇性的事情，但制定了新的標準。現在這個標準被稱為IEEE754

浮點數格式

即使在學校教科書中，每個人都面臨著以 1.2 × 10 ³或1.2 E3形式書寫非常大或非常小的數字的不尋常方式，這等於1.2 × 1000 = 1200。這稱為指數記數法。在這種情況下，我們使用以下公式處理數字的表達式： N=M×n ^p，其中

• N = 1200 - 結果數字
• M = 1,2 - 尾數 - 小數部分，不考慮階次
• n = 10是順序的基數。在這種情況下，當我們不談論計算機時，基數是數字 10
• p = 3 - 鹼度

通常，階數的基數被假定為10 ，並且僅寫入尾數和基數的值，並用字母E分隔它們。在我們的範例中，我給了等效條目1.2 × 10 ³和1.2 E3 如果一切都清楚了，並且我們已經完成了學校課程的懷舊之旅，那麼現在我建議忘記這一點，因為在形成浮點數時，我們正在處理二的冪，而不是十的冪，即 n = 2，整個和諧公式1.2E3崩潰了，真是傷透了我的腦子。

標誌和學位

那我們有什麼呢？因此，我們還有一個二進制數，它由尾數組成- 我們將求冪的部分和冪本身。此外，正如整數類型常見的那樣，浮點數有一個位元來確定符號 - 數字是正數還是負數。作為範例，我建議考慮float由 32 位元組成的 type 。對於雙精度數，double邏輯是相同的，只是位數是雙精度數的兩倍。在 32 位元中，第一個最高有效位元分配給符號，接下來的 8 位元分配給指數（尾數的冪），剩下的 23 位元分配給尾數。為了進行演示，讓我們來看一個例子： 第一點非常簡單。如果第一位的值為0，那麼我們得到的數字將為正數。如果該位為1，則該數將為負數。下一個 8 位元區塊是指數區塊。指數被寫成一個普通的八位數，為了獲得所需的次數，我們需要從結果數中減去127 。在我們的例子中，指數的八位數是10000001。這對應於數字129。如果您對如何計算有疑問，那麼圖片會顯示一個快速答案。任何布林代數課程都可以獲得擴展版本。 1×2 ⁷ + 0×2 ⁶ + 0×2 5 + 0×2 ⁴ + 0×2 ^{3 +} 0×2 ² + 0×2 ¹ + 1×2 ⁰ = 1×128 + 1×1 = 128+ 1=129 不難算出，這8位我們能得到的最大數是 11111111 ₂ = 255 ₁₀（下標2和10表示二進制和十進制）但是，如果我們只使用正指數值（從0到255），那麼得到的數字會有很多小數點之前的數字，但小數點之後沒有？要獲得次數的負值，需要從產生的指數中減去127。因此，度數範圍為-127 到 128。使用我們的範例，所需的度數將為129-127 = 2。現在讓我們記住這個數字。

尾數

現在關於尾數。它由 23 位元組成，但在開始時總是隱含另一個單元，而未為其分配位元。這樣做是出於方便和經濟的原因。在小數點前面或後面的尾數加零，可以用不同的冪表示相同的數字。理解這一點的最簡單方法是使用十進制指數： 120,000 = 1.2×10 ⁵ = 0.12×10 ⁶ = 0.012×10 ⁷ = 0.0012×10 ⁸等。然而，透過在尾數開頭輸入固定數字，我們每次都會收到新的數字。我們理所當然地認為，在我們的 23 位元之前，還會有 1 位元加 1。通常，該位與其餘部分用點分隔，但這並不意味著任何內容。就是比較方便1. 111000000000000000000000 現在需要從左到右對所得尾數求冪，每一步減一。我們從計算得到的冪的值開始，即2 （我故意選擇了一個簡單的例子，以免把2的冪的每個值都寫出來，也沒有在上表中計算）對應位為零） 1× 2 ² + 1×2 ¹ + 1×2 ⁰ + 1×2 ^-1 = 1×4 + 1×2 + 1×1 + 1×0.5 = 4+2+1+0.5 = 7.5 並且得到結果7.5，可以檢查正確性，例如在此鏈接

結果

標準浮點數float由 32 位組成，第一位是符號（+ 或 -），接下來的 8 位是指數，接下來的 23 位是尾數 按符號 - 如果位 0 是正數。若位 1 為負。 通過指數- 我們按位轉換為十進制數（左起第一位是128，第二位是64，第三位是32，第四位是16，第五位是8，第六位是4，第七位是2，第八個是1 )，從結果數中減去127，我們就得到了開始的度數。 根據尾數- 在前面現有的 23 位中，我們添加另一個值為 1 的位，並從它開始提高我們收到的冪，並隨著每個後續位遞減該冪。 這就是大家，孩子們！ PS：作為家庭作業，請使用本文，在評論中留下你的版本，說明為什麼大量浮點數算術運算會出現精度錯誤