Приклади задач з різним рівнем складності

3.1 Задачі з постійною складністю O(1).

Доступ до елемента масиву по індексу:

Операція доступу до елемента масиву по індексу виконується за постійний час, так як адреса елемента обчислюється напряму.

def get_element(arr, index):
    return arr[index]

Вставка елемента на початок списку (Deque):

Використання двосторонньої черги (deque) дозволяє вставляти елемент на початок списку за постійний час.

from collections import deque

def insert_element(dq, element):
    dq.appendleft(element)

3.2 Задачі з лінійною складністю O(n).

Лінійний пошук в масиві:

Пошук елемента в невідсортованому масиві виконується за лінійний час, оскільки може знадобитися перевірка кожного елемента.

def linear_search(arr, target):
    for i in range(len(arr)):
        if arr[i] == target:
            return i
    return -1

Підрахунок кількості елементів у масиві:

Прохід по всім елементам масиву для їх підрахунку займає лінійний час.

def count_elements(arr):
    count = 0
    for element in arr:
        count += 1
    return count

3.3 Задачі з логарифмічною складністю O(log n).

Бінарний пошук:

Пошук елемента в відсортованому масиві за допомогою бінарного пошуку виконується за логарифмічний час.

def binary_search(arr, target):
    left, right = 0, len(arr) - 1
    while left <= right:
        mid = (left + right) // 2
        if arr[mid] == target:
            return mid
        elif arr[mid] < target:
            left = mid + 1
        else:
            right = mid - 1
    return -1

Вставка елемента в бінарне дерево пошуку:

Вставка елемента в збалансоване бінарне дерево пошуку (BST) займає логарифмічний час.

class Node:
    def __init__(self, key):
        self.left = None
        self.right = None
        self.val = key
        
def insert(root, key):
    if root is None:
        return Node(key)
    if key < root.val:
        root.left = insert(root.left, key)
    else:
        root.right = insert(root.right, key)
    return root

3.4 Задачі з квадратичною складністю O(n^2).

Сортування бульбашкою:

Сортування масиву методом бульбашки виконується за квадратичний час.

def bubble_sort(arr):
    n = len(arr)
    for i in range(n):
        for j in range(0, n - i - 1):
            if arr[j] > arr[j + 1]:
                arr[j], arr[j + 1] = arr[j + 1], arr[j]

Перевірка на наявність дублікатів за допомогою подвійного циклу:

Перевірка масиву на наявність дублікатів за допомогою подвійного циклу займає квадратичний час.

def has_duplicates(arr):
    n = len(arr)
    for i in range(n):
        for j in range(i + 1, n):
            if arr[i] == arr[j]:
                return True
    return False

3.5 Задачі з експоненціальною складністю O(2^n).

Задача про Ханойські вежі:

Розв'язання задачі про Ханойські вежі займає експоненціальний час через необхідність переміщення кожного диска.

def hanoi(n, source, target, auxiliary):
    if n == 1:
        print(f"Move disk 1 from {source} to {target}")
        return
    hanoi(n - 1, source, auxiliary, target)
    print(f"Move disk {n} from {source} to {target}")
    hanoi(n - 1, auxiliary, target, source)

Генерація всіх підмножин множини:

Генерація всіх підмножин множини займає експоненціальний час, оскільки кожну підмножину треба розглянути.

def generate_subsets(s):
    result = []
    subset = []

    def backtrack(index):
        if index == len(s):
            result.append(subset[:])
            return
        subset.append(s[index])
        backtrack(index + 1)
        subset.pop()
        backtrack(index + 1)
        
    backtrack(0)
    return result
        
print(generate_subsets([1, 2, 3]))