Складність рекурсивних алгоритмів

5.1 Аналіз складності рекурсивних алгоритмів.

Рекурсивні алгоритми є потужним інструментом для вирішення складних задач, дозволяючи розбивати їх на більш прості підзадачі. Проте, аналіз складності рекурсивних алгоритмів може бути складнішим у порівнянні з ітеративними алгоритмами. Основні аспекти, які необхідно враховувати при аналізі рекурсивних алгоритмів, включають часову і просторову складність.

Ці оцінки показують, скільки часу і пам'яті потрібно для виконання алгоритму в залежності від розміру вхідних даних. Аналіз складності рекурсивних алгоритмів часто включає побудову і розв'язання рекурентних рівнянь, які описують поведінку алгоритму.

Часова складність рекурсивних алгоритмів:

Часова складність рекурсивних алгоритмів часто аналізується з використанням рекурентних співвідношень, які описують час виконання алгоритму через час виконання його рекурсивних викликів.

Рекурентне рівняння:

Рекурентне рівняння — це рівняння, яке виражає часову складність алгоритму через його часову складність для менших розмірів вхідних даних. Воно допомагає описати часові витрати на виконання рекурсивного алгоритму.

Приклади:

• T(n) = T(n − 1) + O(1)
• T(n) = 2T(2n) + O(n)

5.2 Приклади задач з рекурсивними алгоритмами.

Приклад 1: Факторіал числа

Розглянемо алгоритм для обчислення факторіала числа n:

def factorial(n):
    if n == 0:
        return 1
    else:
        return n * factorial(n - 1)
        

Рекурентне співвідношення для цього алгоритму можна записати як:

T(n) = T(n − 1) + O(1)

Рішення цього рівняння дає:

T(n) = O(n)

Таким чином, часова складність алгоритму факторіала складає O(n).

Приклад 2: Швидке сортування

Розглянемо алгоритм швидкого сортування:

def quicksort(arr):
    if len(arr) <= 1:
        return arr

    pivot = arr[len(arr) // 2]
    left = [x for x in arr if x < pivot]
    middle = [x for x in arr if x == pivot]
    right = [x for x in arr if x > pivot]

    return quicksort(left) + middle + quicksort(right)
        

Рекурентне співвідношення для цього алгоритму в середньому випадку:

• T(n) = 2 * T(n / 2) + O(n)

Рішення цього рівняння з використанням методу мастера дає:

• T(n) = O(n * log(n))

5.3 Проста просторової складності рекурсивних алгоритмів

Просторова складність рекурсивних алгоритмів визначається як сума пам'яті, що використовується для зберігання змінних, і пам'яті, що використовується для стеку викликів. У глибоко рекурсивних алгоритмах значна кількість пам'яті може бути використана для зберігання контексту викликів.

Приклад: Обчислення чисел Фібоначчі

Розглянемо алгоритм для обчислення чисел Фібоначчі:

def fibonacci(n):
    if n <= 1:
        return n
    else:
        return fibonacci(n - 1) + fibonacci(n - 2)
        

Рекурентне співвідношення для часової складності:

• T(n) = T(n − 1) + T(n − 2) + O(1)

Рішення цього рівняння дає:

• T(n) = O(2n)

Проста просторової складності визначається максимальною глибиною рекурсивних викликів, яка у даному випадку складає O(n).

5.4 Методи аналізу складності рекурсивних алгоритмів

Методи аналізу складності рекурсивних алгоритмів

1. Метод підстановки:
• Використовується для передбачення форми рішення і доведення по індукції.
• o Приклад: Підстановка для розв'язання рекурентних рівнянь.
2. 2. Метод дерева рекурсії:
   • Візуалізація рекурсивних викликів у вигляді дерева, де кожний вузол представляє виклик функції.
   • Приклад: Швидке сортування з рекурсивними викликами.
3. Метод мастера:
   • Шаблон для аналізу рекурентних рівнянь виду: T(n) = a * T(n / b) + f(n).
   • Приклад: Швидке сортування.

Аналіз складності рекурсивних алгоритмів вимагає врахування як часової, так і просторової складності. Розуміння рекурентних співвідношень і застосування методів аналізу, таких як підстановка, метод дерева рекурсії і метод мастера, допомагають точно оцінювати продуктивність рекурсивних алгоритмів.