Запись двоичного числа как 1000100В

— Привет, Амиго!

— Привет, Билаабо!

Хочу рассказать тебе немного про различные системы счисления.

Ты уже слышал, что люди пользуются десятичной системой счисления. Вот главные факты этого подхода:

1) Для записи числа используются 10 цифр: 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

2) Число 543 значит 5 сотен + 4 десятка + 3 единицы.

Эта равносильно записи 5*100 + 4*10 + 3*1, что можно записать как 5*10²+4*10¹+3*10⁰

Обрати внимание – тысячи, сотни, десятки и единицы – это степени числа 10.

1) Единица – это 10 в нулевой степени.

2) Десять – это 10 в первой степени

3) Сто – это 10 во второй степени

4) Тысяча – это 10 в третьей степени и т.д.

— Ага. Понятно.

— А теперь представь, что цифр всего 8. Тогда у нас есть восьмеричная система счисления и вот ее главные факты:

1) Для записи числа используются 8 цифр: 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

2) Число 543₈ значит 5*8²+4*8¹+3*8⁰. Т.е. это 5*64+4*8+3*1 = 320+32+3=355₁₀

Я написал снизу числа знаки 8 и 10, чтобы мы знали, сколько цифр используется для его записи.

— Вроде как и ясно. Я думаю, я бы смог перевести число из восьмеричной системы в десятичную. Но наоборот – вряд ли.

— Все не так уж и сложно. Представь, что тебе нужно перевести кучу песка на нескольких грузовых машинах. У тебя есть карьерные самосвалы, обычные, и совсем маленькие машинки. Но надо, чтобы машины не ехали полупустыми.

Как бы ты возил?

— Сначала я бы насыпал в карьерные самосвалы, они самые большие. Затем, когда понял, что для заполнения машины песка не хватит, то перешел бы на машины поменьше. Затем еще меньше.

— Тут все тоже очень похоже. Давай попробуем перевести число 355₁₀ обратно в восьмеричный формат.

Сначала мы разделим его на 64 (8²), получим 5 целых и 35 в остатке. Значит первая цифра нашего числа – 5. Затем разделим остаток на 8(8¹), получим 4 и 3 в остатке. Так и получится число 543₈.

Можно, кстати, пойти и с другой стороны. Ведь 543₈ ==5*64+4*8+3 == ((5)*8+4)*8+3. Наши восьмеричные «десятки» и «сотни» обязательно делятся на 8. Значит, остаток от деления на 8 это и будут наши восьмеричные единицы.

Поделим сначала число 355 на 8. Получим 44 и 3 в остатке. Т.е. 355=44*8+3. А 44 можно представить как 5*8+4. Значит 355= (5*8+4)*8+3; Вот наши цифры: 5,4,3. Искомое число 543₈

— В общем вроде понятно, но надо немного попрактиковаться, чтобы окончательно во всем разобраться.

— В программировании очень часто используются числа с различным основанием (количеством цифр). Самые популярные – это 2, 8, 10, 16, 64.

— А зачем это нужно. Зачем нужны числа, состоящие из 2, 8, 16 и 64 цифр?

— Дело во внутреннем устройстве процессора. Очень упрощенно — если в проводе есть ток, то говорят, что в нем «единица», если тока нет, то в нем «ноль». Все числа хранятся в памяти в виде ячеек. Устройство таких ячеек очень примитивно. Они тоже могу хранить только 0 или 1.

Зато такое упрощение всего (только 0 или 1) дало возможность сделать элементы внутри процессора и памяти очень маленькими. Современные процессоры и модули памяти включают миллиарды различных элементов. При том, что их площадь зачастую не превышает квадратного сантиметра.

— Ничего себе. Буду знать.

— Теперь перейдем к двоичным числам. Там то же самое, что и с восьмеричными, только еще проще.

1) Для записи числа используются 2 цифры: 0,1

2) Число 101₂ значит 1*2²+0*2¹+1*2⁰. Т.е. это 1*4+0*2+1*1 =4+1=5₁₀

— Да. Я помню. Одна ячейка, которая принимает значение 0 или 1 называется битом. Но т.к. в ней можно сохранить очень мало информации, то их объединяют в группы по 8. И называют такую группу – байтом.

— Именно. Байт – это группа из восьми бит. В нем можно хранить значения: 00000000, 00000001, …, 11111111. Которые соответствуют десятичным 0,1,… 255. Всего 256 значений.

Какое самое большое целое число в Java? Вернее его тип?

— long. long состоит из 8 байт. Т.е. 64 бита и может хранить значения от -2⁶³ до 2⁶³-1

— Ага. Я не буду касаться темы, как переводить числа из десятичной системы в двоичную или наоборот. Иначе лекция слишком затянется.

Давай лучше еще немного расскажу про 16-ричную систему счисления.

— Да, очень интересно. Для двоичной и восьмеричной систем мы просто выкинули цифры начиная с двойки или восьмерки. А тут как? Мы добавим новые цифры?

— Именно! Смотри:

1) Для записи числа используются 16 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F

2) Число 543₁₆ значит 5*16²+4*16¹+3*16⁰. Т.е. это 5*256+4*16+3*1 =1280+64+3=1347₁₀

— Т.е. мы просто добавили буквы в качестве цифр? О_о

— Ага. А что в этом такого? Зачем придумывать новые цифры, когда с этой ролью отлично справляются буквы. Вот смотри:

Про перевод из десятичной системы в шестнадцатеричную тоже рассказывать не буду. Зато есть один интересный факт. Шестнадцатеричная цифра – это ровно 4 бита со значениями от 0 до 15. Поэтому один байт можно записать восемью двоичными цифрами (0 или 1) или двумя шестнадцатеричными.

Пример:

Шестнадцатеричное представление легко приводится к двоичному (и обратно). Поэтому, если где-то в программировании нужно показать именно внутреннее байтовое представление числа, то очень редко прибегают к двоичной записи через 0 и 1. Слишком длинно и не понятно. Шестнадцатеричная запись гораздо читабельней и компактней.

— Согласен. Даже мне понравилось.

— Кстати, в Java можно прямо в коде записывать числа в различных системах счисления:

— Отличная лекция. Спасибо, Билаабо.