Работа с вещественными числами

4.1 Округление вещественных чисел

Вещественные (дробные) числа по-английски называются floating point number — числа с плавающей точкой: в США для разделения целой и дробной части числа используется точка. Отсюда и происходит название float.

Как мы уже разбирали, при преобразовании вещественного числа (float) в целое (int), оно всегда округляется вниз до целого — его дробная часть просто отбрасывается. А ведь легко можно представить ситуацию, когда дробное число нужно округлить просто до ближайшего целого. Что делать в такой ситуации?

Для этого в Python есть встроенная функция round(). Она была придумана еще до создания библиотеки math, поэтому не входит в нее. Функции для округления вниз и округления вверх находятся в библиотеке math.

Функция round() округляет число до ближайшего целого:

round(вещественное_число)

Данная функция вернет целое число, к которому ближе переданное в нее вещественное число. Важно отметить, что если дробная часть числа равна 0.5, функция round() использует метод округления до ближайшего четного целого числа. Это называется "банковским округлением" и позволяет уменьшить систематическую ошибку при многократном округлении. Например:

Примеры:

Функция math.floor() округляет число до целого вниз, примеры:

Хотя для округления числа до целого вниз проще использовать функцию преобразования типов int():

Если вам сложно запомнить эти команды, поможет небольшой урок английского:

• math — математика
• round — круг/округлять
• ceiling — потолок
• floor — пол

4.2 Устройство чисел с плавающей точкой

Тип float в Python может хранить значения в диапазоне -1.7*10308 до +1.7*10308. Такой гигантский диапазон значений объясняется тем, что тип float устроен совсем иначе по сравнению с целыми типами. Каждая переменная типа float содержит два числа: первое называется мантисса, а второе — степень.

Допустим, у нас есть число 123456789, и мы сохранили его в переменную типа float. Тогда число будет преобразовано к виду 1.23456789*10⁸, и внутри типа float будут хранится два числа — 23456789 и 8. Красным выделена «значащая часть числа» (манти́сса), зелёным — степень.

Такой подход позволяет хранить как очень большие числа, так и очень маленькие. Но поскольку размер числа ограничен 8 байтами (64 бита) и часть бит используется под хранение степени (а также знака числа и знака степени), максимальная длина мантиссы ограничена 15 цифрами.

Это очень упрощенное описание устройства вещественных чисел, более полное можно загуглить.

4.3 Потеря точности при работе с вещественными числами

При работе с вещественными числами всегда нужно иметь в виду, что вещественные числа — неточные. Всегда будут ошибки округления, ошибки преобразования из десятичной системы в двоичную и, наконец, самое частое — потеря точности при сложении/вычитании чисел слишком разных размерностей.

Последнее — самая неожиданная ситуация для новичков в программировании.

Если из числа 10⁹ вычесть 1/10⁹, мы получим опять 10⁹.

1000000000.000000000
   -     0.000000001
1000000000.000000000
                            

Что тут сказать, программирование — это не математика.

4.4 Опасность сравнения вещественных чисел

Еще одна опасность подстерегает программистов при сравнении вещественных чисел. Поскольку при работе с этими числами могут накапливаться ошибки округления, то возможны ситуации, когда вещественные числа должны быть равны, но они не равны. И наоборот: числа должны быть не равны, но они равны.

Пример:

В приведенном выше примере a и c не должны быть равны, но они равны.

Или возьмем другой пример:

На практике вещественные числа сравнивают так:

Берется какое-то очень маленькое число. Если разница чисел (по модулю) меньше, чем это маленькое число, то они считаются равными. Пример:

a = 0.00000000012
b = 0.000000000011 

if abs(a - b) < 0.00001:
    print("равны")
else:
    print("не равны")

2

Задача

Модуль 1: Python Core, 4 уровень, 3 лекция

Недоступна

Круглый математик

Круглый математик

Открыть

2

Задача

Модуль 1: Python Core, 4 уровень, 3 лекция

Недоступна

Сравнивать очень просто

Сравнивать очень просто

Открыть