Примеры задач с разным уровнем сложности

3.1 Задачи с постоянной сложностью O(1).

Доступ к элементу массива по индексу:

Операция доступа к элементу массива по индексу выполняется за постоянное время, так как адрес элемента вычисляется напрямую.

def get_element(arr, index):
    return arr[index]

Вставка элемента в начало списка (Deque):

Использование двусторонней очереди (deque) позволяет вставлять элемент в начало списка за постоянное время.

from collections import deque

def insert_element(dq, element):
    dq.appendleft(element)

3.2 Задачи с линейной сложностью O(n).

Линейный поиск в массиве:

Поиск элемента в неотсортированном массиве выполняется за линейное время, так как может потребоваться проверка каждого элемента.

def linear_search(arr, target):
    for i in range(len(arr)):
        if arr[i] == target:
            return i
    return -1

Подсчет количества элементов в массиве:

Проход по всем элементам массива для их подсчета занимает линейное время.

def count_elements(arr):
    count = 0
    for element in arr:
        count += 1
    return count

3.3 Задачи с логарифмической сложностью O(log n).

Бинарный поиск:

Поиск элемента в отсортированном массиве с помощью бинарного поиска выполняется за логарифмическое время.

def binary_search(arr, target):
    left, right = 0, len(arr) - 1
    while left <= right:
        mid = (left + right) // 2
        if arr[mid] == target:
            return mid
        elif arr[mid] < target:
            left = mid + 1
        else:
            right = mid - 1
    return -1

Вставка элемента в бинарное дерево поиска:

Вставка элемента в сбалансированное бинарное дерево поиска (BST) занимает логарифмическое время.

class Node:
    def __init__(self, key):
        self.left = None
        self.right = None
        self.val = key

def insert(root, key):
    if root is None:
        return Node(key)
    if key < root.val:
        root.left = insert(root.left, key)
    else:
        root.right = insert(root.right, key)
    return root

3.4 Задачи с квадратичной сложностью O(n^2).

Сортировка пузырьком:

Сортировка массива методом пузырька выполняется за квадратичное время.

def bubble_sort(arr):
    n = len(arr)
    for i in range(n):
        for j in range(0, n - i - 1):
            if arr[j] > arr[j + 1]:
                arr[j], arr[j + 1] = arr[j + 1], arr[j]

Проверка на наличие дубликатов с помощью двойного цикла:

Проверка массива на наличие дубликатов с помощью двойного цикла занимает квадратичное время.

def has_duplicates(arr):
    n = len(arr)
    for i in range(n):
        for j in range(i + 1, n):
            if arr[i] == arr[j]:
                return True
    return False

3.5 Задачи с экспоненциальной сложностью O(2^n).

Задача о Ханойских башнях:

Решение задачи о Ханойских башнях занимает экспоненциальное время из-за необходимости перемещения каждого диска.

def hanoi(n, source, target, auxiliary):
    if n == 1:
        print(f"Move disk 1 from {source} to {target}")
        return
    hanoi(n - 1, source, auxiliary, target)
    print(f"Move disk {n} from {source} to {target}")
    hanoi(n - 1, auxiliary, target, source)

Генерация всех подмножеств множества:

Генерация всех подмножеств множества занимает экспоненциальное время, так как каждое подмножество должно быть рассмотрено.

def generate_subsets(s):
    result = []
    subset = []

    def backtrack(index):
        if index == len(s):
            result.append(subset[:])
            return
        subset.append(s[index])
        backtrack(index + 1)
        subset.pop()
        backtrack(index + 1)

    backtrack(0)
    return result

print(generate_subsets([1, 2, 3]))