Робота з дійсними числами

4.1 Округлення дійсних чисел

Дійсні (дробові) числа англійською називаються floating point number — числа з плаваючою точкою: в США для розділення цілої і дробової частини числа використовується точка. Звідси й походить назва float.

Як ми вже розбирали, при перетворенні дійсного числа (float) в ціле (int), воно завжди округлюється вниз до цілого — його дробова частина просто відкидається. Але легко уявити ситуацію, коли дробове число потрібно округлити просто до найближчого цілого. Що робити в такій ситуації?

Для цього в Python є вбудована функція round(). Вона була придумана ще до створення бібліотеки math, тому не входить в неї. Функції для округлення вниз і округлення вгору знаходяться в бібліотеці math.

Функція round() округлює число до найближчого цілого:

round(дійсне_число)

Ця функція поверне ціле число, до якого ближче передане в неї дійсне число. Важливо зазначити, що якщо дробова частина числа дорівнює 0.5, функція round() використовує метод округлення до найближчого парного цілого числа. Це називається "банківським округленням" і дозволяє зменшити систематичну помилку при багаторазовому округленні. Наприклад:

Приклади:

Функція math.floor() округлює число до цілого вниз, приклади:

Хоча для округлення числа до цілого вниз простіше використовувати функцію перетворення типів int():

Якщо вам складно запам'ятати ці команди, допоможе невеликий урок англійської:

• math — математика
• round — круг/округляти
• ceiling — стеля
• floor — підлога

4.2 Влаштування чисел з плаваючою точкою

Тип float в Python може зберігати значення в діапазоні -1.7*10308 до +1.7*10308. Такий гігантський діапазон значень пояснюється тим, що тип float влаштований зовсім інакше у порівнянні з цілими типами. Кожна змінна типу float містить два числа: перше називається мантиса, а друге — ступінь.

Припустимо, у нас є число 123456789, і ми зберегли його в змінну типу float. Тоді число буде перетворене на вигляд 1.23456789*10⁸, і всередині типу float будуть зберігатися два числа — 23456789 і 8. Червоним виділено «значущу частину числа» (мантиса), зеленим — ступінь.

Такий підхід дозволяє зберігати як дуже великі числа, так і дуже маленькі. Але оскільки розмір числа обмежений 8 байтами (64 біта) і частина біт використовується для зберігання ступеня (а також знака числа і знака ступеня), максимальна довжина мантиси обмежена 15 цифрами.

Це дуже спрощений опис влаштування дійсних чисел, більш повний можна загуглити.

4.3 Втрата точності при роботі з дійсними числами

При роботі з дійсними числами завжди потрібно мати на увазі, що дійсні числа — неточні. Завжди будуть помилки округлення, помилки перетворення з десяткової системи в двійкову і, нарешті, найчастіше — втрата точності при додаванні/відніманні чисел занадто різних розмірностей.

Останнє — найнеочікуваніша ситуація для новачків у програмуванні.

Якщо з числа 10⁹ відняти 1/10⁹, ми отримаємо знову 10⁹.

1000000000.000000000
   -     0.000000001
1000000000.000000000
                            

Що тут сказати, програмування — це не математика.

4.4 Небезпека порівняння дійсних чисел

Ще одна небезпека підстерігає програмістів при порівнянні дійсних чисел. Оскільки при роботі з цими числами можуть накопичуватися помилки округлення, то можливі ситуації, коли дійсні числа повинні бути рівні, але вони не рівні. І навпаки: числа повинні бути не рівні, але вони рівні.

Приклад:

У наведеному вище прикладі a та c не повинні бути рівні, але вони рівні.

Або візьмемо інший приклад:

На практиці дійсні числа порівнюють так:

Береться якесь дуже маленьке число. Якщо різниця чисел (по модулю) менша, ніж це маленьке число, то вони вважаються рівними. Приклад:

a = 0.00000000012
b = 0.000000000011 

if abs(a - b) < 0.00001:
    print("рівні")
else:
    print("не рівні")