Метод removeTheFirstNameDuplicates() должен удалять из словаря всех людей, имеющие одинаковые имена. смотрите код.
public static void removeTheFirstNameDuplicates(Map<String, String> map) {
     HashMap <String, Integer> tempMap = new HashMap <> (  ); // save name and count for this name.
    for (Map.Entry<String,String> korzina : map.entrySet ()){
      String name = korzina.getValue ();
      if (!tempMap.containsKey(name)){
          tempMap.put ( name, 1);
      }
        if(tempMap.containsKey ( name )){
            removeItemFromMapByValue ( map, name );
        }
    }
}