throws в методе main

ну разве можно сказать что jvm обработала, если программа стопорнулась?

или эта и есть обработка от JVM: стейк-трейс + стопор?

Смотря что понимать под словом обработать. Unchecked исключения по тому же принципу работают, например если вылезешь за границы массива - поведение будет таким же, оно проскочит через весь стек вызовов - и jvm тебе выведет стектрейс с причиной исключения. Если говорить об Unchecked исключениях - их поведение определили так потому что считается что их не нужно обрабатывать - если они возникают то ты определенно делаешь что-то не так. Хотя, возможность такая есть, например. Исполнение продолжится в таком случае.

int[] a = new int[10];
try{
    int b = a[11];
} catch (Exception e){
    System.out.println("in catch");
}

System.out.println("after catch");

Checked проигнорировать не выйдет - придется или в main его обработать или пробросить. То есть ты можешь это сделать только сознательно. А должно оно так быть или нет - это уже на твоей совести как программиста. Например - если ты вылез за границы массива или пытаешься разименовать ссылку на нулл - программа написана неправильно. Если возникает FileNotFoundException, то программа может быть написана правильно, просто пользователь ввел что-то не то. Такая ситуация может возникнуть во время нормальной работы - ее нужно обработать.

Ой мне кажется вы напутали. Не обрабатываются errors, потому что смысла нет, хотя технических возможно. Unchecked ещё как существует много ситуаций, когда нужно обрабатывать, а определили так (не обязали обрабатывать), потому что: трудно предсказать появление, либо легко, но получиться говно-код с try-catch для каждой мат. операции.

Недостаточно четко выразился и слишком обобщил. Я о том что unchecked - это чаще всего ошибки программиста. Вылез за границы массива/списка, словил NPE или там модифицируешь коллекцию во время итерации. Это все значит что программа написана криво, нужно исправлять а не обрабатывать исключения. Checked же - вне компетенции программиста на момент написания программы. Какие-то из runtime может и могут иметь потенциальные сценарий для обработки, но я пока такого не видел, помимо какого-то там логирования. Но, безусловно я ещё не профи, в рабочих проектах не участвовал. Могу и ошибаться. Вот тут об этом рассуждают, например