1. Что не так?
В методе readObject(ObjectInputStream in) поле stream должно быть
        инициализировано новым объектом типа FileOutputStream с параметрами(fileName, true).
2. Как понять метод flush() в этом коде? То есть мы сначала записываем строку в stream, а потом тут же очищаем её? Значит ничего не записываем в итоге?
public void writeObject(String string) throws IOException {
        stream.write(string.getBytes());
        stream.write("\n".getBytes());
        stream.flush();
    }