Просьба разъяснить

pet это название переменной типа Pet которое является ссылкой на объект класса Cat, который унаследован от Pet.

Pet pet = new Cat();

Когда выполняется эта строка

pet.setName("Я - пушистик");

, то обращение идёт к классу Cat(), так как pet это всего навсего имя переменной

Просто когда ты наследуешься от класса-родителя, все его методы (кроме приватных и, если классы в разных пакетах, package-приватных) неявно реализуются в классе-наследнике, только в каждом реализованном методе класса-родителя будет просто вызов метода класса-родителя через super.setName(String name); например. И только тогда, когда ты переопределишь метод, сделаешь свою реализацию, будет выполнять именно твоя версия этого метода при вызове этого метода на экземпляре класса Cat.

В дополнение к комментарию ниже отмечу, что для доступа к аналогичному методу у класса-родителя можно использовать ключевое слово super (в данном случае super.setName()).

А объект pet является экземпляром какого класса? Если Cat, то очевидно, что Setter выполняется в контексте этого класса и его Setter перекрывает сеттер родителя. Если бы pet был экземпляром класса Pet, то тогда выполнялся бы родительский Setter.