Нужно решить систему уравнений в положительных действительных числах:
Подобрал такое решение - (1/18; 1/20; 1/15). Проверил на wolframalpha - да, решение такое и оно единственное.
Помогите пожалуйста решить задание математически, а не подбором. Буду благодарен за помощь.
К этой задаче надо относится, как к головоломке, найти способ избавиться от нелинейности.
Так как фактически — это система нелинейных уравнений — нелегкая задача даже для численных методов, не говоря уж о аналитических…
а здесь, навскидку, можно пойти так:
складываем первое уравнение со вторым, потом, то что получится — с третьим. получим такую штуку:
1/x+1/y+1/z=53
теперь рассмотрим первую часть уравнения.преобразуем ее так:
(yz+xz+xy)/xyz=53
потом
yz+xz+xy=53xyz
yz+xz+xy-53xzy=0
дальше выражение 53xyz разобьем следующим образом
yz+xz+xy-18xzy-20xyz-15xzy=0
сгруппируем
yz(18x-1)+xz(15y-1)+xy(20z-1)=0
так как по условию x, y, z -положительные числа, т.е.>0, то единственный способ получить 0 — это приравнять к нулю каждые из
18x-1=0
20y-1=0
15z-1=0
почему единственный? тут можно еще дальше порассуждать,… ну, думаю, доказать это можно будет, даже с учетом определенных нюансов…
В положительных действительных числах решение только единственное. Если подобрать другие разложения числа 53, то условия первых трех систем не будут выполнятся.
Знаю об этой замечательной программе. Уже пробовал.
Но эта программа выдает только ответ к этой системе, а я вот хочу понять как это сделать математически, а не подстановкой чисел, которые красиво вписываются под решение.
Нет не первокурсник, а задание, собственно, школьное… Просто попросили помочь с решением, аргументируя «тыжпрограмист, помоги». Решил посмотреть, ответ-то я нашел, но подбор меня не устраивает. Вот сижу пытаюсь вспомнить линейную алгебру, но никак не поддается.
Надо вспоминать матан, линейная алгебра тут ни при чём.
Неужели незаметно, что коэфициэнты специально так подобраны чтобы студенту легче лёгкого было сложить например второе с третьим уравнение или первое со вторым, и сразу исключить одну из переменных таким образом?
ПЕРЕЙДИТЕ В ПОЛНУЮ ВЕРСИЮ
Так как фактически — это система нелинейных уравнений — нелегкая задача даже для численных методов, не говоря уж о аналитических…
а здесь, навскидку, можно пойти так:
складываем первое уравнение со вторым, потом, то что получится — с третьим. получим такую штуку:
1/x+1/y+1/z=53
теперь рассмотрим первую часть уравнения.преобразуем ее так:
(yz+xz+xy)/xyz=53
потом
yz+xz+xy=53xyz
yz+xz+xy-53xzy=0
дальше выражение 53xyz разобьем следующим образом
yz+xz+xy-18xzy-20xyz-15xzy=0
сгруппируем
yz(18x-1)+xz(15y-1)+xy(20z-1)=0
так как по условию x, y, z -положительные числа, т.е.>0, то единственный способ получить 0 — это приравнять к нулю каждые из
18x-1=0
20y-1=0
15z-1=0
почему единственный? тут можно еще дальше порассуждать,… ну, думаю, доказать это можно будет, даже с учетом определенных нюансов…
первая же ссылка
Но эта программа выдает только ответ к этой системе, а я вот хочу понять как это сделать математически, а не подстановкой чисел, которые красиво вписываются под решение.
Неужели незаметно, что коэфициэнты специально так подобраны чтобы студенту легче лёгкого было сложить например второе с третьим уравнение или первое со вторым, и сразу исключить одну из переменных таким образом?