Как не путать, что за чем в этой последовательности должно идти (почему сначала животное, а после владелец, а не наоборот?) И объясните, пожалуйста, что здесь каждый компонент представляет (кроме оператора присваивания =): ссылку, объект, переменную?)

У нас есть класс Cat, содержащий в себе поле owner типа Woman:

public static class Cat {
    public Woman owner;
}

Далее мы создаём объект типа Cat и помещаем ссылку на него в переменную cat:

Cat cat = new Cat();

Теперь cat - это экземпляр, полученный из класса Cat, то есть объект. При помощи оператора-точки можно получить доступ полю owner, которое находится внутри объекта cat:

cat.owner

Фактически эта строка означает: "Получить ссылку на поле owner, находящееся внутри объекта cat" Над полученной таким образом ссылкой можно производить манипуляции, например, сохранить в неё объект типа Woman:

Woman woman = new Woman();
cat.owner = woman;

Здесь мы создали объект типа Woman, сохранив ссылку на него в переменную woman. После этого ссылка woman присваивается полю owner, которое находится внутри объекта cat. Упрощая, можно сказать, что объект woman помещается внутрь объекта cat.